51nod 1412-AVL树的种类（DP）

1412 AVL树的种类

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题

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平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。 现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。

Input

一行，包含一个整数n。 (0 < n <= 2000)

Output

一行表示结果，由于结果巨大，输出它对1000000007取余数的结果。

Input示例

10

Output示例

60

曹鹏 (题目提供者)

C++的运行时限为：1000 ms ，空间限制为：131072 KB 示例及语言说明请按这里

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dp[i][k]：当前节点数为i，最大深度为k的方案数，只有两种情况

（1）左右两棵子树的深度一样，则答案为dp[i-1-j][k-1]*dp[j][k];

（2）左右两端深度差1，   1,2和2,1情况数一样，故乘2 : dp[i-1-j][k-2]*2*dp[j][k-1];

故答案为dp[n][1--15].....

很容易会把复杂度错估为n^3,但是根据AVL树的性质可知，树的高度不会超过logn，故总复杂度实际上是n*n*logn

#include<map>#include<stack>              #include<queue>              #include<vector>      #include<string>    #include<math.h>              #include<stdio.h>              #include<iostream>              #include<string.h>              #include<stdlib.h>      #include<algorithm>     #include<functional>      using namespace std;typedef long long  ll;#define inf  1000000000         #define mod 1000000007               #define maxn  2005    #define PI 3.1415926  #define lowbit(x) (x&-x)              #define eps 1e-9    ll dp[maxn][20];int main(void){ll ans = 0;int i, j, n, k;dp[0][0] = dp[1][1] = 1;for (i = 2;i <= 2000;i++)for (k = 2;k < 16;k++)for (j = 0;j < i;j++){dp[i][k] = (dp[i][k] + dp[i - 1 - j][k - 1] * dp[j][k - 1]) % mod;dp[i][k] = (dp[i][k] + 2 * dp[i - 1 - j][k - 2] * dp[j][k - 1]) % mod;}scanf("%d", &n);for (i = 1;i < 16;i++)ans = (ans + dp[n][i]) % mod;printf("%lld\n", ans);return 0;}

拓展：假如规定m个叶子结点

定义dp[i][j]:表示i个节点，当前叶子结点为j个的方案数。

#include<set>  #include<map>         #include<stack>                #include<queue>                #include<vector>        #include<string>      #include<math.h>       #include<stdio.h>                #include<iostream>                #include<string.h>                #include<stdlib.h>        #include<algorithm>       #include<functional>        using namespace std;typedef long long ll;#define inf 1000000000           #define mod 1000000007                 #define maxn  60     #define PI 3.1415926  #define lowbit(x) (x&-x)     #define eps 1e-9   ll dp[65][65];void init(){int i, j, k, h, x, y;dp[0][0] = dp[1][1] = 1;dp[2][1] = 2;for (i = 3;i < maxn;i++){for (j = 1;j <= i / 2 + 1;j++){x = 0;y = i - 1;while (x < y){for (k = 0;k <= j;k++)dp[i][j] = (dp[i][j] + 2 * (dp[x][k] * dp[y][j - k] % mod) % mod) % mod;x++;y--;}if (x == y)for (k = 0;k <= j;k++)dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[x][k] * dp[y][j - k] % mod) % mod;}}}int main(void){init();int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){printf("%lld\n", dp[n][m]);}return 0;}