竞赛题目讲解-【NOIP2000提高组】乘积最大
来源:互联网 发布:房卡麻将源码搭建教程 编辑:程序博客网 时间:2024/05/10 14:30
【NOIP2000提高组】乘积最大
Description
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”,又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动,你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中,主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目:
设有一个长度N的数字串,要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分,找出一种分法,使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时,为了帮助选手能够正确理解题意,主持人还举了如下的一个例子:有一个数字串: 312,当N=3,K=1时会有以下两种分法:
1)3*12=36 2)31*2=62
这时,符合题目要求的结果是: 31*2=62
现在,请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序,求得正确的答案。
Input
第1行:共有2个自然数N,K (6<=N<=40,1<=K<=6)
第2行:一个长度为N的数字串
output
第1行:最大乘积
Sample Input
4 21231
Sample Output
62
题目讲解
这是一道标准的DP(动态规划)题。先不考虑40位的高精度(数据太弱),我们就用 long long 来定义变量。
与其他DP题一样,我们需要一个数组(g)来保存每一步的状态,和一个函数(G)来计算答案,以及最核心的——状态转移方程式。数组g的维数决定于函数G中参数的个数,值得注意的是它们都是 long long 类型。
输入不多讲,只是 long long 类型输入Windows XP的版本是 “%I64d”,而提交时通常是 “%lld”。然后是处理函数G,先定参数如下:
1. x(int):表示还需要插入x个乘号;2. len(int):表示现在要在前(高位为前,低位为后)len位数中插入乘号;3. (这个只是为了方便)num(long long):表示现在要处理的数字。
忽略为了方便处理的参数num,那么函数G就包含有2个参数,就可以得出数组g是二维,也能够得出它的定义:
g[i][j]:在前j个数字中插入i个乘号所得的最大乘积
根据此定义,最后的输出应该是g[k][n]。
这道题的状态转移方程式较为浅显,我们可以从后往前(从低位到高位)插入乘号,再在该乘号之前的数中插入剩余的乘号。便得到状态转移方程式如下:
g[i][j]=g[i-1][k]*<后k-1位数> (i-1<=k<j-1)
再定义函数G的边界,首先是每一个记忆化搜索的记忆化部分,然后是当需要插入0个乘号时,它的结果应该是现在要处理的数字本身,也就是说,当 x==0 时,返回num。当条件不符合边界时,我们就需要依次枚举乘号放置的位置。但是我们必须保证,该乘号放置过后还能够把剩余的乘号放置下来,这里注意一个误区——若有n个数字,那么只有n-1个空隙,也就是说能够放置n-1个乘号。处理这一点需要限制for循环的枚举起点,也就是保证前面至少有x-1个空隙,所以i应该从x-1开始(作者是从0开始计数的)。
在for循环中,我们首先需要把已经确定的数字和还需要处理的数字分离出来,递归处理后计算出结果,与g[x][len]比较,使g[x][len]始终保留最大值。
这就是 long long 类型的做法,反正数据水(这样不对,高精度的作者就不讲了)。
程序样例
/*Lucky_Glass*/#include<cstdio>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;long long g[20][50];long long G(int x,int len,long long num){ if(g[x][len]) return g[x][len]; if(x==0) return g[x][len]=num; for(int i=x-1;i<len-1;i++) { long long a=num%(long long)pow(10,len-i-1); a*=G(x-1,i+1,(num-a)/pow(10,len-i-1)); g[x][len]=max(g[x][len],a); } return g[x][len];}int main(){ int n,L; long long num; scanf("%d%d%lld",&L,&n,&num); printf("%lld",G(n,L,num)); return 0;}
The End
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