poj-1284(欧拉函数+原根)

问题描叙:

We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (x i mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }. For example, the consecutive powers of 3 modulo 7 are 3, 2, 6, 4, 5, 1, and thus 3 is a primitive root modulo 7. 
Write a program which given any odd prime 3 <= p < 65536 outputs the number of primitive roots modulo p. 

Input

Each line of the input contains an odd prime numbers p. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each p, print a single number that gives the number of primitive roots in a single line.

Sample Input

233179

Sample Output

10824

题目题意:题目给我们一个奇素数，让我们求有多少个x满足the set { (x i mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }.

题目分析:其实这个题目实质就是问p有多少个原根（哎，想要学好数论，得见多识广啊！）

下面是百度对原根的解释:

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）//这句话就是满足的条件。

其中i≠j且i, j介于1至(p-1)之间

这个题目就是将原根的定义解释了一遍。

对于这个题目来说有俩点重要的原根性质

1：模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。

2：对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

个人实力太差了，不能给大家解释了（还得赶紧多学点才行）

我们就记住吧！模m有原根，m=1,2,4,p,2p,p^n,p是奇质数，当模m有原根时，原根的个数是φ(φ(m))(这个是欧拉函数）

因为这个题目给的n是奇素数，所以phi[n]=n-1，因为n与1到n-1都互质。

答案就是phi[n-1]

代码如下:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int get_euler(int n){    int res=n,a=n;    for (int i=2;i*i<=a;i++) {        if (a%i==0) {            res=res/i*(i-1);            while (a%i==0) a=a/i;        }    }    if (a>1) res=res/a*(a-1);    return res;}int main(){    int n;    while (scanf("%d",&n)!=EOF) {        printf("%d\n",get_euler(n-1));    }    return 0;}