poj-1284 欧拉函数

来源：互联网发布：mysql linux启动编辑：程序博客网时间：2024/06/03 05:52

欧拉函数

定义：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n)

比如：n = 8 时，有 1,3,5,7 与它互质，所以 φ(8) = 4

函数计算公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) ，其中p1,p2,...,pn位n的质因子

易知，如果n为质数，一定有 φ(n) = n-1

函数的几个性质：

1、φ(1)=1

欧拉定理：

若 $n,a$ 为正整数，且 $n,a$ 互素（即 $\gcd(a,n)=1$ ），则 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$ 。

换种说法就是 a^ φ(n) % n 恒等于 1.

特别的，当n是质数的时候，上式就变成了 $a^{n - 1} \equiv 1 \pmod n$ ，它也叫费马小定理，但它是个单向定理，不能用这个同余证n是质数。

原根：

在 $gcd(a,m)=1$ 时，定义 $a$ 对模 $m$ 的指数 $Ord_m(a)$ 为使 $a^d \equiv 1 \pmod{m}$ 成立的最小的正整数 $d$ 。由欧拉定理知 $Ord_m(a)$ 一定小于等于 $\phi (m)$ ，

若 $Ord_m (a) = \phi (m)$ ，则称 $a$ 是模 $m$ 的原根。

m的原根个数正好为φ(φ(m)) （在m是素数情况下进一步知原根的个数是φ(m-1) ）

例：poj-1284 http://poj.org/problem?id=1284

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;#define N 1000005int p[N];void fun(){ //素数表    int i, j, k;    memset(p, 0, sizeof(p));    p[1] = 1;    for(i=2; i<=sqrt(N); i++){        for(j=2; j<=N/i; j++){            p[i*j] = 1;        }    }}int oula(int n){    int i, j, r, a;    r = n;    a = n;    for(i=2; i<=sqrt(n); i++){        if(!p[i]){            if(a%i==0){                r = r/i * (i-1);                while(a%i==0)                    a /= i;            }        }    }    if(a>1)        r = r/a*(a-1);    return r;}int main(){    int n;    while(cin>>n){       // cout<<oula(oula(n))<<endl; //一般情况        cout<<oula(n-1)<<endl; //n为奇素数时    }    return 0;}

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