树链剖分原理
来源:互联网 发布:网络对初中生的影响 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 12:03
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树链剖分用一句话概括就是:把一棵树剖分为若干条链,然后利用数据结构(树状数组,SBT,Splay,线段树等等)去维护每一
条链,复杂度为O(logn)
那么,树链剖分的第一步当然是对树进行轻重边的划分。
定义size(x)为以x为根的子树节点个数,令v为u的儿子中size值最大的节点,那么(u,v)就是重边,其余边为轻边。
当然,关于这个它有两个重要的性质:
(1)轻边(u,v)中,size(v)<=size(u/2)
(2)从根到某一点的路径上,不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。
当然,剖分过程分为两次dfs,或者bfs也可以。
如果是两次dfs,那么第一次dfs就是找重边,也就是记录下所有的重边。
然后第二次dfs就是连接重边形成重链,具体过程就是:以根节点为起点,沿着重边向下拓展,拉成重链,不在当前重链上的节
点,都以该节点为起点向下重新拉一条重链。
剖分完毕后,每条重链相当于一段区间,然后用数据结构去维护,把所有重链首尾相接,放到数据结构上,然后维护整体。
在这里,当然有很多数组,现在我来分别介绍它们的作用:
siz[]数组,用来保存以x为根的子树节点个数
top[]数组,用来保存当前节点的所在链的顶端节点
son[]数组,用来保存重儿子
dep[]数组,用来保存当前节点的深度
fa[]数组,用来保存当前节点的父亲
tid[]数组,用来保存树中每个节点剖分后的新编号
rank[]数组,用来保存当前节点在线段树中的位置
那么,我们现在可以根据描述给出剖分的代码:
第一次dfs:记录所有的重边
第二次dfs:连重边成重链
当然,由于题目有时候要求边很多,所以最好不要用二维数组表示边,应用邻接表或者链式前向星。
当然,这里面有一个重要的操作,那就是修改树中边权的值。
如何修改u到v的边权的值呢?这里有两种情况:
(1)如果u与v在同一条重链上,那么就直接修改了
(2)如果u与v不在同一条重链上,那么就一边进行修改,一边将u与v往同一条重链上靠,这样就变成了第一种情况了
那么现在的关键问题就是如何将u和v往同一条重链上靠?
其实就是LCA,两个先跳到自己所在链的顶端,然后比较两个端点的深度,谁得深度大谁跳,再跳的过程中记录过程中所需要的值,直到两个点在同一条链上.
复杂度O(logn)
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