递推（DP） noip 模拟 不等数列

题目描述：

将 1到 n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“ >”和“ <”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有 k 个“ <”。 答案对 2012 取模。

输入：

第一行 2 个整数 n,k。

输出：

一个整数表示答案。

样例输入：

5 2

样例输出：

66

数据范围：

对于 30%的数据： n <= 10对于 100%的数据： k < n <= 1000

简析：

    显然这绝对不是一道暴力题。    很容易就能想到，从1到n将数字一个个添加进去，同时每添加一个数字，< 要么多一个，要么不变。因此，我们用数组f[i][j]表示前i个数字的所有排列中有j个<的排列个数。由于每添加一个数字只能增加一个<或者不增加，因此f[i][j]只能由f[i-1][j-1]和f[i-1][j]推出来。（f[i-1][j-1]考虑<增多的情况，f[i-1][j]考虑不变的情况）。    那么怎样添加可以使<增多呢？首先要明确一点：要添加进排列的数字一定比排列中所有的数字都大，因为我们是从1到n逐个添加的。然后，能够添加的位置有四个：1.第一个数字前，2.最后一个数字后（ < 会增多），3.添加在>关系的两个数字间，3.添加在<关系的两个数字间。    来看一下后两种情况：    3.添加在>关系的两个数字间：

    很明显，<符号多了一个。    4.添加在<关系的两个数字间：

    很明显,<数目不变。    同样的，添加在最前面，<不变，添加在最后面会增多。    先看递推式再解释：f[i][j]=(f[i-1][j-1]*(i-j)%2012+f[i-1][j]*(j+1)%2012)%2012;    首先考虑f[i-1][j-1]，很明显，这要求将i添加后<多一个，已知，每一种排列有j-1个<，对应的，就有(i-2-(j-1))=(i-j-1)个>，由此前的图可知将数字添加在有>两个数字间 会多一个<,因此f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(i-j-1)。在考虑添加在末尾的情况，f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(i-j-1)+f[i-1][j-1],合并为f[i-1][j-1]*(i-j)。    同样的，对于f[i-1][j]我们考虑<不变的情况，即添加在<关系的两个数字间或者最前面，易得为f[i-1][j]*(j+1)。    最后注意赋初值的问题。

#include<stdio.h>int f[1100][1100];  int n,k,i,j;int min(int x,int y){    return x>=y?y:x;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    for(i=1;i<=n;i++){        f[i][0]=1;        f[i][i-1]=1; //赋初值    }    for(i=1;i<=n;i++){        int x=min(k,i-1);        for(j=1;j<=x;j++){            if(!f[i][j])            f[i][j]=(f[i-1][j-1]*(i-j)%2012+f[i-1][j]*(j+1)%2012)%2012;        }    }    printf("%d",f[n][k]);}