1.1.2 兰切斯特第二法则

下边来阐释兰切斯特第二法则，如第二法则图示所示，近距离包围战是典型的第二法则的军事运用。第二法则的核心就是协同效应。由于距离近，每一个士兵都能有效的将枪口瞄准敌人，进行射击。

第二法则如下图所示

1.1.2.1 兰切斯特第二法则的框图分析

这里引用艾·里斯和杰克·特劳特所著《商战》中的例子。

“假如A队有9名士兵，B队有6名士兵，双方每人中3颗子弹便死亡，双方都是以尽可能多的消灭敌人为目的。

A队有50%的数量优势。人数可以是9个人对6个人，也可以是90人对60人，或者9000人对6000人。不管到底是多少，其中的原则是相同的。

第一次火拼后，战局发生了戏剧性的变化。A队打出9发子弹，打死3人；B队打出6发子弹，打死2人。A队由9:6的优势转变为7:3的优势。A队50％的兵力优势变为大于100％。随着战火的燃烧，这种致命的算术递增仍在继续。

第二次交火后，A队打出7发子弹，打死2人，并且剩余人中有1人中1枪，B对打出3发子弹，打死1人。兵力对比会变为A队以6:1占绝对优势。

第三次交战后，A队打出6发子弹，将B消灭，B队打出1发子弹，未打死1人。B队就被彻底歼灭了。

再来看一下双方的伤亡情况。优势兵力(A队)的伤亡人数仅是劣势兵力(B队)的一半。”

这是《商战》中所提及的兵力原则的例子。让我们将这个例子进行扩展，使其具有更广泛的意义。

A队人数受B队战斗力的影响，B队的人数同时也受A队战斗力的影响，这是一个数学递归问题。

 

假设A队每a发子弹打死1人，B队每b发子弹打死1人。A队的剩余人数等于A队战斗人数减去B队消灭人数，即

。同理 。如下面框图所示

假设A队和B队武器性能相同，设为1，且都是a发子弹打死一个敌人。则

两式相加和相减得到下列2式

求出上述2个方程式的解，得到A队和B队人数的方程式

假设A队人数占优势，B队最后全军覆灭。另下式为0。

上式变换为

两边取对数，求得n，即n轮时，B队全军覆灭。

将n带到下式，可求出最终A队剩余战斗人数。

求出战斗人数的递归方程的解有一个好处，当交火次数在1到n之间取值时，即可通过递归方程的解求出每一轮过后两队的剩余人数。

用上述例子进行验算，依然假设A队9人，B队6人，每3发子弹打死1个敌人。

 

则初始状态时

最终状态时，B队全军覆灭。n=2.3，向上取整即n=3。即在第三轮交火时，A队不需要用全力，就能将B对消灭。

 

将n=1，2，3分别代入以下两式，分别求出每轮过后，A队和B队的剩余人数。

即A队剩余6人，B队全军覆灭。

 

这个递归公式是基于盖然性的计算，真实情况会基于盖然计算值上下有小幅度波动。这里的3发子弹打死一个敌人是假设的平均情况，战斗人数越少，偶然性就越大。比如一个人这次只用2发子弹就打死了1个敌人，而他的队友却用4发子弹打死1个敌人。参战的人数越多，这些偶然性之间就会彼此中和，偏差就会越小，偶然性就越小。

当初始兵力为 

而士兵所能承受的被击中的枪数a变化。

a

X0

Y0

n

Xn

1

9

6

1

3

2

9

6

1.464973521

5.433632808

3

9

6

2.321928095

5.85086419

4

9

6

3.150660103

6.059708963

5

9

6

3.969362296

6.186148018

6

9

6

4.783271062

6.271131335

7

9

6

5.59450194

6.332239238

8

9

6

6.40408083

6.378317638

9

9

6

7.212567439

6.414314371

10

9

6

8.020293689

6.443216824

20

9

6

16.08095819

6.574541743

50

9

6

40.23058245

6.654434794

100

9

6

80.46921315

6.681266618

200

9

6

160.94245

6.694721895

500

9

6

402.3589416

6.702807881

998

9

6

803.1092495

6.705499959

999

9

6

803.9139688

6.705502665

1000

9

6

804.718688

6.705505366

当a=1时，即射击命中率100%，并且1枪致命，此时应该使用兰切斯特第一法则，完全没有协同作用。

 

当n>=2时，由上图的表格可以得出结论，当初始兵力为

，所能承受的被击中的枪数越多（即a越大），则所需要的交火次数n越多，并且A队剩余人数

逐渐增大，最终A队剩余6.7人左右，B队全部阵亡。