算法系列——变态跳台阶(剑指offer)

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

分析：用Fib(n)表示跳上n阶台阶的跳法数。如果按照定义，Fib(0)肯定需要为0，否则没有意义。但是我们设定Fib(0) = 1；n = 0是特殊情况，通过下面的分析就会知道，强制令Fib(0) = 1很有好处。ps. Fib(0)等于几都不影响我们解题，但是会影响我们下面的分析理解。
当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;
当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = 2;
到这里为止，和普通跳台阶是一样的。
当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，对应Fib(3-1)种跳法； 第一次跳出二阶后，对应Fib(3-2)种跳法；第一次跳出三阶后，只有这一种跳法。Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+ 1 = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4;
当n = 4时，有四种方式：第一次跳出一阶，对应Fib(4-1)种跳法；第一次跳出二阶，对应Fib(4-2)种跳法；第一次跳出三阶，对应Fib(4-3)种跳法；第一次跳出四阶，只有这一种跳法。所以，Fib(4) = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + 1 = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + Fib(4-4) 种跳法。
当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n阶后，后面还有 Fib(n-n)中跳法。Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)。
通过上述分析，我们就得到了通项公式：
Fib(n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+ Fib(n-2) + Fib(n-1)
因此，有 Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)
两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1) = Fib(n-1) =====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3
这就是我们需要的递推公式：Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

程序实现

public class Solution {    public int JumpFloorII(int target) {        //target<=0        if(target<=0)            return 0;        //target==1        if(target==1)            return 1;        //处理 target>=2的情况        int []dp=new int[target+1];        dp[1]=1;        for(int i=2;i<=target;i++)            dp[i]=2*dp[i-1];        return dp[target];    }}