《剑指offer》——变态跳台阶

这是《跳台阶》题目的升级版，不止是每步都是1或者2，而是可以从1调到n，求其跳法。

T:

题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

constraints:

时间限制：1秒空间限制：32768K

这一题目，虽然只是略微的修改了条件，但其解题方式完全不同。
同时，“青蛙跳台阶”只是一种具体的场景设定，抽象来看，其可看做如下表述：

抽象：
对于一个正整数n，可以按照如下方式表达：

n=1+1+⋯+1（共有n个1）

n=1+2+1+⋯+3+…

即：凡是小于n的正整数可以作为一个加数因子，问总共有多少种此类的表达式？

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在我的理解当中，此种类型有2种方式：

隔板法

共有n个球，代表n个台阶，在这里设定每个球的数量值为1。n个球有n-1个空隙。

• 如果插入1个隔板，那就代表只需要2步就可以到达n阶的台阶，类似上图中给出的例子。
• 在插入1个隔板的情况下，如果插入的位置不同，则代表第一步的步长不同，即第一步跳的台阶数不同，也代表了不同的跳台阶方案，所以，可以应用隔板情况下的组合数进行求解。
• 比如插入了k个隔板，那么就有⟮n−1k⟯种跳跃方式。

因此，可以得到如下结果：

⟮n−10⟯+⟮n−11⟯+⋯+⟮n−1n−1⟯=2n−1

公式推导

设f(n)表示对于n个台阶情况下的所有跳法，
对于第一步来说，青蛙可以跳1阶，2阶，…，n阶，那么在以上这么多种的情况下，我们可得到如下的递推公式：

因此，本题目的实质，就是求一个次幂。

代码：

    public int JumpFloorII(int target) {        int count = 1;        int i = 1;        while (i < target) {            count *= 2;            i ++;        }        return count;    }

还有大神有如下解法：

可大致描述如下：