【USACO3.3.5】游戏（区间dp的滚动数组与编码问题）

前言

这篇文章是以介绍对角线填表的滚动数组为主，以区间dp为典型应用并且以USACO3.3.5游戏为引例展开

题目

【问题描述】

　　有如下一个双人游戏：

　　N个正整数的序列放在一个游戏平台上，游戏由玩家1开始，两人轮流从序列的两端取数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。以最终得分多者为胜。

　　编一个执行最优策略的程序，最优策略就是使自己能得到在当前情况下最大的可能的总分的策略。你的程序要始终为两位玩家执行最优策略。

【输入格式】  

第一行: 正整数N, 表示序列中正整数的个数。
第二行至末尾: 用空格分隔的N个正整数（大小为1-200）。

【输出格式】  

只有一行，用空格分隔的两个整数: 依次为玩家一和玩家二最终的得分。

【输入样例】  

6
4 7 2 9 5 2

【输出样例】  

18 11

【数据范围】  

2 <= N <= 100

分析

很典型很简单的区间dp，其中以先手最优值作为一个典型的终止条件，同时后手可以简单的算出
方程:

f(i,j)表示在区间i~j里面先取的那个人可以得到的最高分数ans:   f(1,n) sum-f(1,n)f(i,i)=a[i]f(i,j)=max(a[i]+sum(i,j)-f(i+1,j),a[j]+sum(i,j)-f(i,j-1))

代码

#include<cmath>#include<queue>#include<cstdio>#include<cctype>#include<vector>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=105;int n,sum[maxn],a[maxn],d[maxn][maxn];void Init(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);        sum[i]=sum[i-1]+a[i];    }}void dp(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        d[i][i]=a[i];    }    for(int k=1;k<n;k++)    {        for(int i=1;i+k<=n;i++)        {            int j=k+i;            int t1=a[i]+(sum[j]-sum[i])-d[i+1][j];            int t2=a[j]+(sum[j-1]-sum[i-1])-d[i][j-1];            d[i][j]=max(t1,t2);        }    }    printf("%d %d\n",d[1][n],sum[n]-d[1][n]);}int main(){    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    Init();    dp();    return 0;}

关于填表

沿主对角线填表基础填法

来看到这个矩形，代表着我们需要填表的位置，需要填表的位置在图片右上部分，代表区间i<=j,蓝色部分就是我们填表的边界部分，然后按照红->橙->黄的顺序填表，那么如何才能遍历红色部分呢？
利用主对角线的性质，可知同一条对角线上横纵坐标之差是相等的，从0~n-1,因此我们可以列举这个差值，0是边界
因此令j-i=k,则j=k+i,i每次都是从1开始的，因此有代码

for(int k=1;k<n;k++){    for(int i=1;i+k<=n;i++)    {    }}

二维滚动

对于二维的数组很容易卡内存，因此滚动数组成为我们有力的工具，如果单纯的用坐标的形式是基本上无法滚动的，由上图我们看出，如果把矩形逆时针旋转45度，看起来就是可以滚动的形式了
由于是以对角线为基础的滚动，因此我们要修改一下对每个坐标的表示，我就直接结果了，第一位是k，也就是横纵坐标之差，第二位是横纵坐标之和/2，首先，k不同的点都是在同一对角线的，我们来看同一对角线是否会冲突，相邻对角线的两个格子横纵坐标都相差1，那么横纵坐标之和就相差2，那么再/2依旧可以保证对角相邻的两个格子第二维刚好相差1，不会发生冲突，也不会浪费。
再说一点，数组的大小是不用*根号2的，因为对角线上也只有n个元素，应该从曼哈顿距离去考虑

代码

void dp(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        d[0][i]=a[i];    }    for(int k=1;k<n;k++)    {        for(int i=1;i+k<=n;i++)        {            int j=k+i;            int t1=a[i]+(sum[j]-sum[i])-d[(k-1)&1][(i+j+1)/2];            int t2=a[j]+(sum[j-1]-sum[i-1])-d[(k-1)&1][(i+j-1)/2];            d[k&1][(i+j)/2]=max(t1,t2);        }    }    printf("%d %d\n",d[(n-1)&1][(1+n)/2],sum[n]-d[(n-1)&1][(1+n)/2]);}

一维滚动

二维滚动都可以感觉以为一位滚动差不多是吧，其实不然。
这里和传统的二维填表最大的不同在于这是个金字塔状的填表，如果用二维滚动的编码方式，因为单双数的原因会造成预先占用（一个格子的值还没有被使用完就被占用了，造成答案错误），那么如何避免这个问题呢，应该可以用宏定义讨论一下，但是我不会哎，其它的方法呢，不要除以2呗，同时我们可能会发现一个很微妙的事实，两排相邻对角线之间的横纵坐标之和一个是奇数一个是偶数，那么就刚刚好避免冲突，从左上往右下填表是对的，从右下往左上也是对的。
性能分析及注意：数组大小要开两倍，空间上相比二维滚动没有减少，但是对横纵坐标差k的判断被除去了，第二维不用/2，减少了一些运算，而且代码比较好写，清爽，因此只要数组开够了是个很好的方法

代码

int d[maxn<<1];void dp(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        d[i+i]=sum[i]-sum[i-1];    }    for(int k=1;k<n;k++)    {        for(int i=1;i+k<=n;i++)        {            int j=k+i;            int t1=sum[j]-sum[i-1]-d[i+j+1];            int t2=sum[j]-sum[i-1]-d[i+j-1];            d[i+j]=max(t1,t2);        }    }    printf("%d %d\n",d[1+n],sum[n]-d[1+n]);}

再谈编码

关于横纵坐标编码

有时候对于一个矩阵我们只需要将横纵坐标的值表示出来即可，我们本来是很耿直的用(x,y),现在我们将它改为(x+y,x-y)，可以解出唯一解，因此这可编码是很合理的，（/2的话因为计算机省略小数的特性出现了冲突），我们来分析一下空间，横坐标:-n~n,纵坐标:0~2n因此用了4n^2的空间表示了n^2直接表示的空间。
原因：
1、和差奇偶性相同，当横坐标为奇数时，纵坐标为偶数的部分全部浪费掉，因此浪费了一半，
2、这是个被反转的，把新矩形看成菱形的话，只有中间的矩形部分被运用到了，比如x-y=n-1,则x和y只能是n和1,又浪费了一半

如下图，只有蓝色部分是才是真正被用到的部分（和被用到的部分可以刚好一一对应），知道为什么浪费了这么多了吧（真正的图要把菱形往右平移，左边的那个角和正方形中间靠左的那个边的终点在同一点上，其实这样挺好看的(其实是我不想画了)）

话说回来用(x+y)/2将会减少一半的浪费，可是我真的不会这样编码哎

实际利用：
1、n*n矩阵实际上只用了一半，用以上编码可以少定义一半（y-x始终非负）
2、这是滚动数组哎，优化的起止这么点？

谈谈编码问题（不对应多个元素、减少浪费）

对于不同的元素进行区分，我们一般要用到编码，最好最常用的编码是按计数的方法一一对应，不会对应多个元素也不会浪费。
可是有时候我们为了对一些共同特点的元素进行统一处理，我们要按照特征进行重新编码，不对应多个元素是基本要求（hash这种东西除外啦），不浪费最好，比如这道题我们利用的就是对横纵坐标差进行的编码，为了满足不重复对应多个元素，我们用x+y作为另一维得到唯一解，当然我觉得应该是有更优秀的编码的，毕竟这种浪费比较大。