约瑟夫环问题

约瑟夫环问题

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围；从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

分析：

给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那么，出列的序号是(m-1)%n，k=m%n（这个可真的是显而易见）。出列k-1后，序列变为

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到

c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整个序列c都减除一个k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。

这样你看，从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok，继续向下。

剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x，那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`，不就是知道了最终的结果了么？

下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。

d->c，这个变换很容易，就是x+k；

c->b，这个变换是网上大家都一带而过的，也是令我郁闷的一个关键点。从b->c，其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列，那么再翻转回去，简单的就是%n，即(x+k)%n。%n以后，k~n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。

于是乎，我们就知道了，x=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然，i=1就是特殊情况了，f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。

好了，这个最后需要注意的就是从一开始，我们将n序列从0～n-1编号，所以依据公式1

f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

分析源于：http://blog.csdn.net/u010781856/article/details/46610655

得出的序号是基于0开始的。

解法一，数组

import java.util.ArrayList;import java.util.Scanner;public class Main{    public static void main(String[] args){        Scanner in = new Scanner(System.in);        while(in.hasNext()){            int n = in.nextInt();            if(n>1000){                n=999;            }            System.out.println(getResult(n));        }        }    public static int getResult(int n){      if(n<=1){          return 0;      }      int res = 0;      ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();      for(int i=0;i<n;i++){          list.add(i);      }      while(list.size()>1){          res = (res+2)%list.size();          list.remove(res);      }      return list.get(0);    }}

解法二：求递推公式，复杂度为O(n)

package sort;import java.util.Scanner;public class Main{    public static void main(String[] args){        Scanner in = new Scanner(System.in);        while(in.hasNext()){            int n = in.nextInt();            if(n>1000){                n=999;            }            System.out.println(getResult(n));        }        }    private static int getResult(int n) {        // TODO Auto-generated method stub        if(n<=1){            return 0;        }        int res = 0;        for(int i=2;i<=n;i++){            res = (res+3)%i;        }        return res;    }}