趣题

证明：

1+2+3+⋯+n−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√<2…(0)

解答：

如果证：

1+2+3+⋯+n−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√<2…(0)

只需证：

2+3+4+…n−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√<3…(1)

只需证：

3+4+5+…n−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√<7…(2)

设：f(0)=2,f(n)=f2(n−1)−n，显然第n个右侧的数字就是f(n)。因此只需要证明，对于任意的n,f(n)>0。

考虑用归纳法。归纳的内容是，对于所有的正整数n，f(n)>0,f(n)−f(n−1)≥1。用第二数学归纳法。

1. 当x=1时，显然成立
2. 对于所有的x≤n，该命题都成立，需要证明当x=n+1时成立。我们考虑：

f(n)=f2(n−1)−nf(n+1)=f2(n)−n−1

两式相减并整理，得到：

f(n+1)−f(n)=(f(n)+f(n−1))(f(n)−f(n−1))−1

根据归纳假设，f(n)−f(n−1)≥1，由于f(n),f(n−1)都为正整数，f(n)+f(n−1)≥2，所以：

f(n+1)−f(n)≥2×1−1=1

又有f(n)>0所以f(n+1)=f(n)+1>0。所以可以证明，f(n+1)>0,f(n+1)−f(n)≥1。根据归纳原理，对于任意的正整数n，都有f(n)>0，因此原命题得证。