字符串问题---回文最小分割数

【题目】

　　给定一个字符串str，返回把str全部切成回文子串的最小分割数。

【举例】

　　str = “ABA”，str本身就是回文串，返回0.
　　str = “ACDCDCDAD”，最少需要切两次变成3个回文子串，所以返回2.

【基本思路】

　　本题是一个经典的动态规划的题目。定义动态规划数组dp，dp[i]的含义是子串str[0…i]至少需要切割几次，才能把str[0…i]全部切成回文子串。那么dp[len-1]就是最后的结果。

从左往右依次计算dp[i]的值，i 初始为0，具体计算过程如下：

1、假设 j 处在 0 到 i 之间，如果str[j…i]是回文串，那么dp[i]的值可能是dp[j-1] + 1，其含义是在str[0…i]上，既然str[j…i]是回文串，那么它可以自己作为一个分割的部分，剩下的部分str[0…j-1]继续做最经济的分割，也就是dp[j-1]的值。

2、根据步骤1的方式，让 j 在 i 到 0 的位置上枚举，那么所有可能中最小值就是dp[i]的值，即dp[i] = min{dp[j-1]+1 (0<= j <= i，且str[j…i]必须是回文串)}。

3、如何快速方便的判断str[j…i]是否为回文串？

　1）定义一个二维数组p，如果p[j][i]为True，表示str[j…i]是回文串，否则不是。在计算dp过程中，希望能够同步、快速的计算出矩阵p。

　2）p[j][i]如果为True，一定来自以下三种情况：
　　
　　<1>　str[j][i]由一个字符组成
　　<2>　str[j][i]由两个字符组成且两个字符相等
　　<3>　str[j][i]由多个字符组成，str[j] == str[i]且p[j+1][i-1] == True。

　3）在计算dp数组的过程中，位置i是从左向右依次计算的。而对于每一个i来说，又依次从 i 位置向左遍历所有的位置，以此来决策dp[i]。所以对于p[j][i]来说，p[j+1][i-1]一定已经计算过。

从后往前遍历str也是可以的，原理同上，详情见代码，这么做下标理解起来可能更容易一点。

下面是使用python3.5实现的代码。

#回文最小分割数＃从前往后遍历def minCut(str1):    if str1 == None or str1 == "":        return 0    N = len(str1)    p = [[False for i in range(N)] for j in range(N)]    dp = [0 for i in range(N)]    for i in range(N):        dp[i] = sys.maxsize        for j in range(i, -1, -1):            if str1[j] == str1[i] and (i-j < 2 or p[j+1][i-1]):                p[j][i] = True                dp[i] = min(dp[i], 0 if j-1 == -1 else dp[j-1] + 1)    return dp[-1]＃从后往前遍历def minCut２(str1):    if str1 == None or str1 == "":        return 0    N = len(str1)    dp = [0 for i in range(N)]    p = [[False for i in range(N)] for j in range(N)]    for i in range(N-1, -1, -1):        dp[i] = sys.maxsize        for j in range(i, N):            if str1[i] == str1[j] and (j-i < 2 or p[i+1][j-1]):                p[i][j] = True                dp[i] = min(dp[i], 0 if j+1 == N else dp[j+1] + 1)    return dp[0]