计算共形几何讲座笔记

明白以下问题

1）几何研究的是什么？有哪些

2）为什么研究共形几何？有哪些好处

3）能解决哪些问题？工程中有什么应用？现在还有哪些问题需要解决

这是听顾险峰老师8.27日一次微信讲座中的 笔记记录，所有图片均来自顾老师的ppt截图。侵删。

现代几何在工程和医学中的应用

 

几何是研究各种变换群下的不变量。工程上常用的几何是

1）拓扑：对应的变换群是拓扑同胚，比如把一个橡皮环，只要不拉破，他的拓扑是不变的

2）黎曼几何：等距变换；这里的距是指测地距离。把一张长方形纸卷成圆柱，上面任意两点之间的最短距离不变。等距变换下，曲面的高斯曲率是不变的。用黎曼几何，无法把弯曲的东西变成平面，

3）曲面的微分几何：一个曲面嵌入到三维空间中，那么它可以在三维空间中进行旋转和平移，它的高斯曲率不变，主曲率也不变。

顾老师的研究介于拓扑和黎曼几何之间，由于经常需要对曲面进行大形变，比如把弯的曲面变成直的平面，此时曲率将不再被保持，所以黎曼几何不太适用。

 

 

为什么要用共形几何？

拓扑变换太剧烈，保留的信息太少，即太"软"，黎曼几何太"硬"，没办法把弯曲的变成平的。共形几何软硬适中，特别适合研究大的形变。

共形几何特别适合研究3类问题

1）曲面之间的映射；把一张脸变成另一张脸，动画中叫表情迁移，需要两个曲面的微分同胚

2）曲面分类；比如表情识别，判断三维的人脸是什么表情，哭？笑？

3）形状分析；得到人体的器官表面，判断其是否有肿瘤；判断大脑皮层的曲面判断是否有脑补疾病

 

 

历史上共形几何是很多学科交叉的地方。历史上有一门科学是计算复分析，研究的重点是平面区域之间的保角变换。从平面到曲面是巨大的飞跃，用的理论完全不同。

这个扫描仪可以达到每秒180帧，每张脸有上万个三角形，已经超过了游戏工业和电影工业的要求。

为什么做计算共形几何的研究？

从上世界90年代，三维扫描技术越来越成熟，我们可以很轻易的得到大量的三维数据，如何高效的处理这些数据？此外计算机的计算能力越来越强，为处理大量的数据提供了硬件支撑。

计算共形几何中几个最基本的问题

1）给定曲面上的黎曼度量，黎曼度量就会决定一个共形结构，如何计算该共形结构？

2）随便给两个拓扑等价的曲面，他们之间不见得存在保角变换，如何计算不变量来判断两个曲面是否存在保角变换

3）计算中通常需要找到简单的度量来简化计算，如何在共形结构中找到最简单的黎曼度量？

4）给定想要高斯曲率，能否设计出一个黎曼度量？目的是通过计算一个黎曼度量张量来实现高斯曲率

5）给定两个曲面，如何计算两个曲面的拟共形变换？

6）两个拓扑等价但是不存在保角变换的曲面，能否找到一个映射，使他最接近保角变换，使得局部形状畸变达到全局最小。这些变换是否存在？是否唯一？计算起来是否稳定

 

顾老师的基本著作：《计算共形几何》、《离散曲面的变分原理》、《Ricci流对于形状分析和曲面配准》

核心的概念是保角变换，特性：1）拓扑发生巨大的变化；2）局部是保持形状的，用复变函数的说法：这个变换是双全纯变换，变换本身是全纯的，它的你映射也是全纯的

另一个定义：把三维人脸映射到二维圆盘，三维人脸上画两条相交的曲线，交角在变换前后保持不变。这种变换成为保角变换

 

经过保角变换后映射到一个平面长方形，这个映射的特性：1）改变了曲率，把弯曲的曲面变成了平直的平面；2）保持局部形状不变，比如眼睛、耳朵、发髻。这个变换称为保形变换，保角变换局部就是保形的。

换句话说：在每个点取一个小邻域，限制在这个邻域上这个变换就是相似变换，每一点相似比不一样，所以不是一个整体的相似变换，但局部都是相似变换，所以局部形状不变

 

这幅图解释共形变换和一般微分同胚的本质差别：把同一张三维人脸映射到单位圆盘上，上面一行共形变换是圆到圆，圆的大小发生变化，但是形状没有改变。这个变换称为黎曼映照，可以证明，从人脸到圆盘所有的共形变换彼此之间相差一个三维的群，也就是说有无穷多个变换，但这无穷多个变换可以用三个参数来刻画，因此维数有限。

下面一般微分同胚是椭圆到圆，微分同胚有无穷多个，构成的空间也是无穷多维。

这是最大的差别，共形变换三个参数就可以控制，而且有唯一性，这为工程上带来很多好处。

 

共形变换把三维变成二维，而且局部保形，这是其第一个长处：降维；（便于硬件、算法处理、加速）

另一个好处：大一统。世间所有形状都可以通过共形变换转化为三种标准形状：球面、欧式平面、双曲圆盘

a)小女孩，亏格为0；b)小猫亏格为1，c）亏格为2