POJ-1091：[NOIP模拟](二)T2-跳蚤

POJ-1091：[NOIP模拟] (二)T2-跳蚤

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阅读本文推荐BGM ：낙엽의 의미 - Crepe

题目描述 ：

    Z 城市居住着很多只跳蚤。在 Z 城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。
    卡片上写有 N+1 个自然数。其中最后一个是 M，而前 N 个数都不超过 M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。
    而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
    比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳 3次，每次15 个单位长度，最后再向右连跳 3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
    当确定 N和 M 后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

范围

对于30%数据：N<=5，M<=5;
对于100%数据N<=15，M<=100000000
Time Limit : 1 Sec
Memory Limit : 128MB

谈一谈我的想法 ：

    其实这道题，在考场上我是想出来了的因为少判了一些情况就炸了。这道题明显就是要求互质数的方案， 但是这道题的 M <= 100000000 正着跑的话绝对会炸， 于是很容易想出来反着跑， 去求 M 的约束， 最后容斥。

题解 ：

    求出 M 的质约数， 容斥。
    当且仅当序列里的数 gcd 为 1 是方案成立。考虑 M 的约数 ：
    假设当前的 M = 75， n = 3；
    则 M 的质因数有 3, 5。 考虑对答案的影响， ans 应减去 3 及其倍数(该数小于 M，下面同理)所形成的方案数， 再减去 5 及其倍数所形成的方案数， 但是此时我们发现多减去了 3 和 5形成数， 就是 15 及其倍数的方案数， 于是这时我们就需要加回去， 此为容斥。
    处理的函数: dfs(int x, int y, int z)， 表示已经举到 x 位(在质因数中枚举)， 选了 y 个数， 值为 z。每次有选与不选的情况，分别 dfs 得到答案。

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <iostream>#include <cmath>#include <ctime>#include <map>#include <vector>#define ul unsigned long longusing namespace std;const int MAXN = 2e4 + 50;ul m, ans;int  a[MAXN], n, b[MAXN], c[MAXN];int tail;inline ul power(ul x, int k) { // 快速幂    ul now = 1;    while(k) {        if(k & 1) now *= x;        x *= x;        k >>= 1;    }    return now;}inline void phi(ul m) { // 求质因数    tail = 0;    for(int i = 2; i * i <= m; ++i)        if(m % i == 0) {            a[++tail] = i;            m /= i;            while(m % i == 0) m /= i;        }    if(m > 1) a[++tail] = m;}inline void dfs(int x, int y, int z) { // 更新答案    if (z > m) return;    if (x == tail + 1) {        if (y) {            if (y & 1) ans -= power(m / z, n);            else ans += power(m / z, n);        }        return;    }    dfs(x + 1, y, z);    dfs(x + 1, y + 1, z * a[x]);}int main() {    cin>>n>>m;    ans = power(m, n);    phi(m);    dfs(1, 0, 1);    cout<<ans;    return 0;}

本题结束

是不是要犒劳自己一曲音乐呢：Radioactive - Imagine Dragons

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