bzoj #1101 ZAP-Queries （莫比乌斯反演）

原题链接（又一道权限题？）
题意：
FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。
（1<=n<=50000,1<=d<=a,b<=50000）
首先挂一个莫比乌斯反演的公式：
若f(n)和F(n)是定义在正整数集合下的两个函数，并且满足

F(n)=∑d|nf(d)

则有

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)−−−−①式

其中μ(d)为莫比乌斯函数，其定义为

（扯远了）
对于每个询问a,b,d，我们要求的是

∑i=1a∑j=1b(gcd(i,j)==d)

这不难理解，若我们令

a′=a/d,b′=b/d

则原式转化为

∑i=1a′∑j=1b′(gcd(i,j)==1)

考虑到①式，则有

∑i=1a′∑j=1b′∑d|gcd(i,j)μ(d)

因为d|gcd(i,j)等价于d|i,d|j,所以我们便可以得到

∑i=1min(a′,b′)μ(i)(a′/i)(b′/i)

（这里的除号为取整符号）
推导到这里，时间复杂度依然有O(n^2)，那如何优化呢？
考虑μ(i)函数为积性函数，我们便用线性筛的方法在O(n)的时间求出μ(i)，顺便维护一个前缀和即可。

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define maxn 50050using namespace std;typedef long long ll;int p[maxn],i,j,m,n,d,x,y,u[maxn],top=0,t,a,b;bool vis[maxn];ll ans;int main(){    scanf("%d",&t); memset(vis,0,sizeof(vis)); u[1]=1;    for (i=2;i<=50000;i++)    {        if (!vis[i]) {p[++top]=i,u[i]=-1;}        for (j=1;i*p[j]<=50000;j++)        {            vis[i*p[j]]=1;            if (i%p[j]!=0) u[i*p[j]]=u[i]*u[p[j]];else break;        }    }    for (i=2;i<=50000;i++) u[i]+=u[i-1];    while (t--)    {        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);        {            a/=d,b/=d,ans=0ll,top=min(a,b),i=1;            while (i<=top)            {                j=min(a/(a/i),b/(b/i));                ans+=(ll)(u[j]-u[i-1])*(a/i)*(b/i);                i=j+1;            }        }        printf("%lld\n",ans);    }}