【BZOJ】【P1101】【POI2007】【Zap】【题解】【莫比乌斯反演】

来源：互联网发布：python 图片处理编辑：程序博客网时间：2024/05/01 08:43

传送门：www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

事实胜于雄辩，用longlong又T了，换成int就A了……

推导：

令 $a'=\left \lfloor a/d \right \rfloor,b'=\left \lfloor b/d \right \rfloor$
$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\text{gcd}(i,j)==d]$
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}[\text{gcd}(i,j)==1]$
用莫比乌斯函数的性质把求和的式子换掉，
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}\sum_{d|\text{gcd}(i,j)}\mu(d)$
其中 $d|\text{gcd}(i,j) \Leftrightarrow d|i \,\text{and} \,d|j$ ，更换求和指标，
$=\sum_{d=1}^{a'}\mu(d)\left \lfloor a'/d \right \rfloor \left \lfloor b'/d \right \rfloor$
容易知道 $\left\lfloor a'/d\right \rfloor$ 单调不上升，且最多有 $2\sqrt{a'}$ 种不同的取值。所以按取值分成 $O(\sqrt{n})$ 个段分别处理，一个连续段内的和可以用预处理出的莫比乌斯函数前缀和求出

（转自jcvb神犇的blog）

Code：

//ID:zky#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#define I64 "%d"using namespace std;const int maxn=50010;//typedef long long int;int u[maxn],prime[maxn];int n,m,T,k;bool ok[maxn];int sum[maxn];void getmu(){memset(ok,false,sizeof(ok));u[1]=1;for(int i=2;i<maxn;i++){if(!ok[i]){prime[++prime[0]]=i;u[i]=-1;}for(int j=1;j<=prime[0];j++){if(i*prime[j]>=maxn)break;ok[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j])u[i*prime[j]]=-u[i];else{u[i*prime[j]]=0;break;}}}sum[0]=0;for(int i=1;i<maxn;i++)sum[i]=sum[i-1]+u[i];} int work(){//ans=sigma   u(d)*|n|*|m|//     d<=n        [d] [d]int ans=0,pos;for(int i=1;i<=n;){pos=min(n/(n/i),m/(m/i));ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);i=pos+1;}return ans;}int main(){scanf(I64,&T);getmu();while(T--){scanf(I64,&n);scanf(I64,&m);scanf(I64,&k);n/=k;m/=k;if(n>m)swap(n,m);printf(I64,work());puts("");}return 0;}

0 0