凸多边形的最优三角剖分

如图所示，用顶点的逆时针序列表示凸多边形，即p={v0,v1,...,vn-1}表示具有n条边的凸多边形。给定凸多边形p，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。如图所示划分，要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角形上的劝之和最小。

解析：若凸(n+1)边形p={v0,v1,...,vn}的最优剖分T包含三角形v0vkvn,1<=k<=n-1,则T的权为3个部分的和，三角形v0vkvn的权，子多边形{v0v1...vk}和{vk...vn}的权之和。定义t[i][j]，1<=i<j<=n为凸子多边形{vi-1,vi,...,vj}的最优三角形所对应的权函数值，{vi-1vi}由于两点构成不了三角形，所以权值为0.凸(n+1)边形的最优权值为t[1][n].j-i>=1时，凸子多边形至少有3个顶点，t[i][j]应为t[i][k]的值加上t[k+1][j]的值再加上vi-1vkvj的权值(这里t[k+1][j]之所以为k+1这里是以边计数的)。至于权值w函数，定义为三角形三个顶点的权值乘积。

即w(vi-1vkvj)=w[i-1]*w[k]*w[j].状态转移方程如下：

                                     

代码实现：

# -*-coding:utf-8 -*-while True:    try:        n=int(raw_input())        w=map(int,raw_input().split())        t=[[0 for i in range(n+1)] for j in range(n+1)]        for i in range(1,n+1):            for j in range(i+1,n+1):                for k in range(i,j):                    if i-1!=k and k!=j:                        r=w[i-1]*w[k]*w[j]                    else:r=0                    if t[i][j]==0:                        t[i][j]=t[i][k]+t[k+1][j]+r                    else:t[i][j]=min(t[i][j],t[i][k]+t[k+1][j]+r)        ans=t[1][n]        print t,ans    except:        break