树状数组详解（含排兵布阵例子）

1 树状数组简介
树状数组，其实就是物理上存储是连续的，以数组的形式存储，逻辑上可以得到树形的父子关系。对于两个数组下标x，y(x < y)，如果y=x + 2^k (k等于x的二进制表示中末尾0的个数)，那么定义(y, x)为一组树上的父子关系，其中y为父结点，x为子结点。

如上图所示，其中A为普通数组，C为树状数组（C在物理空间上和A一样都是连续存储的，其实真正的数组A我们是不需要的,只要一个数组C就好）。树状数组的第4个元素C4的父结点为C8 (4的二进制表示为”100”，所以k=2，那么4 + 2^2 = 8)，C6和C7同理。C2和C3的父结点为C4，同样也是可以用上面的关系得出的，那么从定义出发，奇数下标一定是叶子结点。

2 复杂度
对于普通数组，其修改的时间复杂度为O(1)，而求数组中某一段的数值和的时间复杂度为O(n)，因此对于n的值过大的情况，普通数组的时间复杂度我们是接受不了的。
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构

3 结点的特点
（1）我们定义Ci的值为它的所有子结点的值 和 Ai 的总和，则当i为奇数时Ci一定为叶子结点，所以有Ci = Ai ( i为奇数 )
然后我们来看树状数组上的结点Ci具体表示什么，这时候就需要利用树的递归性质了。从图中可以得出：
C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
建议直接看C8，因为它最具代表性。
我们从中可以发现，其实Ci还有一种更加普适的定义，它表示的其实是一段原数组A的连续区间和。根据定义，右区间是很明显的，一定是i，即Ci表示的区间的最后一个元素一定是Ai，那么接下来就是要求Ci表示的第一个元素是什么。从图上可以很容易的清楚，其实就是顺着Ci的最左儿子一直找直到找到叶子结点，那个叶子结点就是Ci表示区间的第一个元素。
更加具体的，如果i的二进制表示为 ABCDE1000，那么它最左边的儿子就是 ABCDE0100，这一步是通过结点父子关系的定义进行逆推得到，并且这条路径可以表示如下：
ABCDE1000 => ABCDE0100 => ABCDE0010 => ABCDE0001
这时候，ABCDE0001已经是叶子结点了，所以它就是Ci能够表示的第一个元素的下标，那么我们发现，如果用k来表示i的二进制末尾0的个数，Ci能够表示的A数组的区间的元素个数为2^k，又因为区间和的最后一个数一定是Ai，所以有如下公式：
Ci = sum{ A[j] | i - 2^k + 1 <= j <= i } =A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+…+A[i]
（帮助理解：将j的两个端点相减+1 等于2^k）

4 求解2^k (k等于i的二进制表示中末尾0的个数，或从0开始，从右到左第一个1的位置)—lowbit（i）
下面的各种操作需要用到函数lowbit(i),这里先说明：
要求2^k(其中k为x的二进制表示末尾0的个数)，那么最简单的实现办法就是通过位运算的右移，循环判断最后一位是0还是1，从而统计末尾0的个数，一旦发现1后统计完毕，计数器保存的值就是k，当然这样的做法总的复杂度为O( logn )，一个32位的整数最多可能进行31次判断（这里讨论整数的情况，所以符号位不算）。
这里介绍一种O(1)的方法计算2k的方法。
int lowbit(int i)
{
return i& (-i);
//or return i&(i^(i-1));
}
函数的解释如下：
在计算机中，数值都是用补码表示的，如：
x =1： 1 &－１>>（设位数为８）0000 0001 & 1111 1111 = 1,即lowbit(1)=1
x = 6:6 & -6 >> 0000 0110&1111 1010 = 2,即lowbit(6)=2;
为什么要以补码表示数值呢？
原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。
整数补码的表示分两种：
正数：正数的补码即其二进制表示；
例如一个8位二进制的整数+5，它的补码就是 00000101 （最高位是符号位，0表示”正”，1表示“负”）
负数：负数的补码即将其整数对应的二进制表示所有位取反(包括符号位)后+1；
例如一个8位二进制的整数-5，它的二进制表示是00000101，取反后为11111010，再+1就是11111011，这就是它的补码了。
下面的等式可以帮助理解补码在计算机中是如何工作的
+5 + (-5) = 00000101 + 11111011 = 1 00000000 (溢出了!!!) = 0
这里的加法没有将数值位和符号位分开，而是统一作为二进制位进行计算，由于表示的是8进制的整数，所以多出的那个最高位的1会直接舍去，使得结果变成了0，而实际的十进制计算结果也是0，正确。
补码复习完毕，那么再来看下面这个表达式的含义：
x & (-x) (其中 x >= 0)
首先进行&运算，我们需要将x和-x都转化成补码，然后再看&之后会发生什么，我们假设 x 的二进制表示的末尾是连续的 k 个 0，令x的二进制表示为 X0X1X2…Xn-2Xn-1, 则 {Xi = 0 | n-k <= i < n}， 这里的X0表示符号位。
x 的补码就是由三部分组成： (0)(X1X2…Xn-k-1)(k个0) 其中确定的是Xn-k-1为1，因为末尾是k个0，如果它为0，那就变成k+1个0了。X1至Xn-k-1 前的数是多少无所谓。
-x的补码也是由三部分组成： (1)(Y1Y2…Yn-k-1)(k个0) 其中确定的是Yn-k-1为1，其它的Xi和Yi相加为1，想想补码是怎么计算的就明白了。
那么 x & (-x) 也就显而易见了，由两部分组成 (1)(k个0)，表示成十进制为 2^k 啦。
由于&的优先级低于-，所以代码可以这样写：
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}

5 求和操作
明白了Ci的含义后，我们需要通过它来求sum{ A[j] | 1 <= j <= i }，也就是之前提到的sum(i)函数。为了简化问题，用上面的函数lowbit(i)来表示2^k (k等于i的二进制表示中末尾0的个数)。那么：
sum(i) = sum{ A[j] | 1 <= j <= i }
= A[1] + A[2] + … + A[i]
= A[1] + A[2] + A[i-2^k] + A[i-2^k+1] + … + A[i]
= A[1] + A[2] + A[i-2^k] + C[i]
= sum(i - 2^k) + C[i]
= sum( i - lowbit(i) ) + C[i]
由于C[i]已知，所以sum(i)可以通过递归求解，递归出口为当i = 0时，返回0。sum(i)函数的函数主体只需要一行代码：
int sum(int i){
return i? C[i]+ sum( i- lowbit(i)):0;
}

展开就是这个意思
int sum(int i){
int s =0;
for(; i >0; i -= lowbit(i))
s += C[i];
return s;
}
观察 i - lowbit(i)，其实就是将i的二进制表示的最后一个1及其右边的部分变为0。由于最多只有log(i)个1，所以求sum(n)的最坏时间复杂度为O(logn)。

6 更新操作
对于更新操作 add(int i,int v) //将第i元素增加V，A[i] += v。但是我们不能在原数组A上操作，而是要像求和操作一样，在树状数组C上进行操作。
那么其实就是求在Ai改变的时候会影响哪些Ci，看图一遍树形结构就一目了然了，Ai的改变只会影响Ci及其祖先结点，即A5的改变影响的是C5、C6、C8；而A1的改变影响的是C1、C2、C4、C8。
也就是每次add(i, v)，我们只要更新Ci以及它的祖先结点：
void add(int i,int v){//将第i元素增加v
if(i <= n){
C[i]+= v;
add( i+ lowbit(i), v );
}
}
注：此处i+lowbit(i)表示第i个元素的直接父节点的下标，如i=6，则它的父元素为i+lowbit(i)=6+2=8
和求和操作类似，递归的时候常数开销比较大，所以一般写成迭代的形式更好。写成迭代形式的代码如下：

void add(int i,int v){
for(; i <= n; i += lowbit(i)){
C[i] += v;
}
}

7 区间求和
如求[x,y]的和：上文中的sum(x)求的是[1, x]的和，所以只需要求两次sum函数，然后相减得到，即sum(y) - sum(x-1)。

8 举个栗子
hdu 1166
敌兵布阵
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 71393 Accepted Submission(s): 29930

Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:”你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说：”我知错了。。。”但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output

Case 1:
6
33
59

C++版代码：accepted

   #include<iostream>      #include<cstdio>      #include<map>      #include<math.h>      #include<cstring>      #include<algorithm>      using namespace std;      int a[50005], n;      int Lowbit(int k) // 树状数组最精妙的设计精髓      {          return k & -k;      }      void Update(int i, int val) // 操作函数      {          //要把原数组的i个值加上val影响了它的上一级，所以要依次往上加          while(i <= n)           {              a[i] += val;              i += Lowbit(i);//每次加上Lowbit(i)代表改变这次的值就是能影响的到树状数组的值          }      }      int sum(int i)//这个函数求得是从1到i所有元素的和      {          int sum = 0;          while(i > 0)          {              sum += a[i];              i -= Lowbit(i);//每次往下减，自己可以带入树状数组的a[6]试试。应该就能明白          }          return sum;      }      int main()      {          int t, p = 1, i, a1, b, val;          scanf("%d",&t);          while(t--)          {              memset(a, 0, sizeof(a));              scanf("%d",&n);              for(i = 1; i <= n; i++)              {                  scanf("%d",&val);                  Update(i, val);//对于每次输入直接操作就可以。              }              char str[50];              printf("Case %d:\n",p++);              while(scanf("%s",str) != EOF)              {                  if(strcmp(str,"End") == 0)                      break;                  scanf("%d%d",&a1,&b);                  if(strcmp(str,"Add") == 0)                      Update(a1,b);                  else if(strcmp(str,"Sub") == 0)                      Update(a1,-b);                  else                  {                      printf("%d\n",sum(b) - sum(a1 - 1));//前边见后边，大的减小的因为每次算的都是从1到b从1到a1-1的和                  }              }          }          return 0;      }  

java版：

import java.util.Scanner;public class Main {    static int array[];    static int n;    public static void main(String[] args) {        Scanner scanner=new Scanner(System.in);        int t=scanner.nextInt();        int caseCount=1;        while(t-->0){         n=scanner.nextInt();            array=new int [n+1];            for (int i = 1; i <=n ; i++) {                int val=scanner.nextInt();             add(i,val);            }//            输入命令            System.out.println("Case "+caseCount+++":");            String str=scanner.nextLine();            String strs[]=str.split("\\s+");            if(strs[0].equals("End"))                continue;            while(!strs[0].equals("End")){                if(strs[0].equals("Query")){                    System.out.println(sum(Integer.parseInt(strs[2]))-sum(Integer.parseInt(strs[1])-1));                }else if(strs[0].equals("Add"))                    add(Integer.parseInt(strs[1]),Integer.parseInt(strs[2]));                else if(strs[0].equals("Sub"))                    add(Integer.parseInt(strs[1]),-Integer.parseInt(strs[2]));                str=scanner.nextLine();                strs=str.split("\\s+");            }        }    }/** 要把原数组的i个值加上val影响了它的上一级，所以要依次往上加* */    private static void add(int i, int val) {        while(i<=n){            array[i]+=val;//            //每次加上Lowbit(i)代表改变这次的值就是能影响的到树状数组的值            i+=lowbit(i);        }    }    private static int lowbit(int i) {        return i&-i;    }    /*    * //这个函数求得是从1到i所有元素的和    * */    private  static int sum(int i){        int sum=0;        while(i>0){            sum+=array[i];//            //每次往下减            i-=lowbit(i);        }        return sum;    }}