关于约瑟夫问题（Josephus Problem）

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以报数的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯说服了一个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫希望知道他们两个人应该怎样坐才能保证两个最终活下来。


换句话说，也就是n个人坐成一个环，从第一个人从1开始报数，报到m的人出局，然后从下一个人开始继续从1开始报数……当n=41，m=3的时候的出局顺序如下表示。（还有两个没有标16号和31号就是留下来的位置）

图片来源：http://blog.csdn.net/jtlyuan/article/details/7433693


为了取模方便，我们不再从1开始给人标号，我们从0开始顺时针标号。

每次有人出局后，所有人将被重新标号，出局者的下一个人将被标上0，其他人将被依次标上号。

我们考虑一个对应关系f(x)，x表示这一轮某人（用A表示）的标号，f(x)则是A在上一轮的标号。

先给出结论：f(x)=(x+m)modi 其中 i 是上一轮还剩下的人数。

我原来想证明这个式子，但是想了一会儿发现这个式子不应该是拿来证明的，可以很好地理解它。A在这一轮的标号是x，那么他在上一轮一定是在出局者往后x+1的位置上（因为我们定义出局者往后一个人为0号，然后依次编号），出局者是报到了m，如果继续从m+1报下去，这个人应该报到了m+x+1，那么很容易计算，在一个从0开始标号的有i个人的环里面，报到m+x+1的人应该是(m+x+1−1)modi，即结论中给出的公式。

那么对于约瑟夫问题，我们可以知道，当剩下两个人的时候，一个人的编号是0，另一个编号是1。那么通过n−2次迭代计算就可以求出刚开始的时候这两个人坐在哪个位置（即初始标号）

部分代码如下：

int t[2];t[0]=0;t[1]=1;for (int i=3;i<=n;i++){    for(int j=0;j<=1;j++){        t[j]=(t[j]+m)%i;    }}

我们换一个问题：如果我们要计算所有人的出局顺序呢？也就是按出局顺序依次给出出局者的初始标号。比如第一张图中的结果就是3，6，9，12，15，18……

一个一个数的复杂度为O(nm)，显然是难以接受的，但是通过线段树的优化，我们可以将复杂度降低到O(nlogn)。

我们对人数建一颗线段树，每个节点[l,r]保存闭区间[l,r]内还剩下多少人没有出局，刚开始节点[l,r]的值为r−l+1。

我们先讨论一下n=9，m=4的情况，下图是初始局面：

我们定义一个aim，表示我们要找从第一个人开始往后数的第aim个人。

刚开始aim=mmodn
如果aim结果是0，那么aim=n。

我们去寻找点（总是先找左节点），当找到[1,5]点时，发现这个节点下有5个人（≥aim）没有出局，那么第aim个人一定在这个节点下。

进入下一层查找，发现[1,3]节点下有3个人（<aim，此时aim==1，并且我们进入这一层的右节点[4,5]寻找，发现这个节点下有2个人（≥aim）没有出局，那么第aim个人一定在这个节点下。

我们继续进入下一层节点寻找，发现[4,4]节点下有一个人（≥aim）所以第aim个人一定在这个节点下，而这个节点又是叶子节点了。所以结果就是4号出局。

之后的局面如下：

下一个出局的人应该是第aim=(aim+m−1)modval([1,9])个人。
如果aim结果是0，那么aim=val([1,9])。

为什么要−1呢？可以这样理解，因为出局了第aim个人，那么之后的所有人的相对位置都往前挪了一格。比如原来的第aim+1人，现在就变成了第aim人。按照之前的方法，很容易就可以算出是第7个人出局，也就是8号。

之后的局面如下：

下一个出局的人是第3个人，也就是3号，再下一个是第6个人，9号。

代码如下：该代码在CODEVS_1282提交通过

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}int t[150000];int n,m;void build(int index,int l,int r){    if (l==r){t[index]=1;return;}    int mid=(l+r)>>1;    build(index<<1,l,mid);    build(index<<1|1,mid+1,r);    t[index]=t[index<<1]+t[index<<1|1];}int read(int index,int l,int r,int aim){    if (l==r)   {        t[index]=0;        return l;    }    int mid=(l+r)>>1;    t[index]--;    if (t[index<<1]>=aim)   return read(index<<1,l,mid,aim);    else    return read(index<<1|1,mid+1,r,aim-t[index<<1]);}int main(){    n=read();m=read();    build(1,1,n);    int aim=1;    for (int i=1;i<=n;i++){        aim=(aim+m-1)%t[1];        if(aim==0)  aim=t[1];        printf("%d%c",read(1,1,n,aim)," \n"[i==n]);    }    return 0;}