约瑟夫问题（Josephus Problem）算法分析及代码

约瑟夫问题简介

据说着名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人 开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

约瑟夫问题算法分析

约瑟夫问题可用代数分析来求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您与您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直而计数达41为止，然后将阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人而报数3的约琴夫排列如下所示：

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 425 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 2923

 

由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道约琴夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

代码实现（C/OC）

#define N 41    //总人数#define M 3     //数到第几个人就自杀

//主程序，不清楚的参考注释int man[N] = {0};//排列顺序数组，里面有所有的人，下标从0开始int count = 1;//自杀了多少人，<=Nint i = 0;//0<=i<=3，用于临时计数int pos = -1;//数到第几个人了，算是标记int alive = 0;while(count <= N) {//还有人存活，继续    do {        pos = (pos+1) % N;  //环状处理，>N时，pos进入下一圈儿        if(man[pos] == 0)//如果这个位置的人还活着            i++;//计数+1                if(i == M) {//报数为3了            i = 0;//计数清零            break;//跳出，去执行自杀        }    } while(1);    man[pos] = count;//第count个自杀的人，在排列上是第pos个位置，    count++;//自杀完成，自杀人数+1}printf("\n约琴夫排列：");for(i = 0; i < N; i++)    printf("%d ", man[i]);alive = 2;//还有alive个人活着printf("\nL表示这%d人要放的位置：\n", alive);for(i = 0; i < N; i++) {    if(man[i] > (N - alive))        printf("L");//最后还有alive个人活着，不知道还是不是继续，哈哈    else        printf("D");//自杀的人    if((i+1) % 5 == 0) printf("  ");}printf("\n");