POJ 1768 最大子矩阵
来源:互联网 发布:云计算技术著名书籍 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 00:27
题目
描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵,你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。
比如,如下4 * 4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。
输入
输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中,依次(首先从左到右给出第一行的N个整数,再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数,整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
样例输出
15
来源
翻译自 Greater New York 2001 的试题
思路
我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵,然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2),显然此方法不可行。
怎么使得问题的复杂度降低呢?对了,相信大家应该知道了,用动态规划。对于此题,怎么使用动态规划呢?
让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题):
给定一个长度为n的一维数组a,请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum=a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大,其中i>=0,i< n,j>=i,j< n,例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种方法-直接穷举法:
maxsofar=0; for i = 0 to n { for j = i to n { sum=0; for k=i to j sum+=a[k] if (maxsofar>sum) maxsofar=sum; } }
第二种方法-带记忆的递推法:
cumarr[0]=a[0] for i=1 to n //首先生成一些部分和 { cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i]; } maxsofar=0 for i=0 to n { for j=i to n //下面通过已有的和递推 { sum=cumarr[j]-cumarr[i-1] if(sum>maxsofar) maxsofar=sum } }
显然第二种方法比第一种方法有所改进,时间复杂度为O(n*n)。
下面我们来分析一下最大子段和的子结构,令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和,b[j]的当前值只有两种情况,(1)
最大子段一直连续到a[j] (2)
以a[j]为起点的子段,不知有没有读者注意到还有一种情况,那就是最大字段没有包含a[j],如果没有包含a[j]的话,那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了,注意我们只是算到位置为j的地方,所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为:b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子断和为max{b[j],0<=j< n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。 得出的算法如下:
int maxSubArray(int n,int a[]) { int b=0,sum=-10000000; for(int i=0;i<n;i++) { if(b>0) b+=a[i]; else b=a[i]; if(b>sum) sum=b; } return sum; }
这就是第三种方法-动态规划。 现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢?
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵,如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始):
| a11…… a1i ……a1j ……a1n |
| . . . . . . . |
|ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下: (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2,
……,arn+……+akn) 由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
以上思路转自http://www.cnblogs.com/fll/archive/2008/05/17/1201543.html
下面是我的代码…
#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int n,b[105],sum[105],a[105][105],maxx;int maxsub(){ int x=0,sum=-1270000; for(int i=1;i<=n;i++) { if(x>0) x+=b[i]; else x=b[i]; if(x>sum) sum=x; } return sum; }int main(){ scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]); for (int i=1;i<=n;i++) { memset(b,0,sizeof(b)); for (int j=i;j<=n;j++) { for (int k=1;k<=n;k++) b[k]+=a[j][k]; int s=maxsub(); if (s>maxx) maxx=s; } } printf("%d",maxx);}
- POJ 1768 最大子矩阵
- POJ 1050 最大子矩阵
- poj 1050最大子矩阵
- 1768:最大子矩阵
- POJ 1050 最大子矩阵和
- pku poj 1050 最大子矩阵问题
- poj 1050 【最大子矩阵和DP】
- POJ-1050 最大子矩阵和
- POJ 1050 最大连续子矩阵和
- poj 1050 最大子矩阵和
- poj acm 1050 最大子矩阵
- poj 1964 最大子矩阵问题
- poj 1050 最大子矩阵和
- POJ 1050 最大矩阵子段和
- POJ 1050 最大子矩阵和
- poj 1050 最大的子矩阵和
- poj 1050 最大子矩阵和
- POJ 1050最大子矩阵和
- #CCF准备一年日常刷题#201403相反数
- vi的方便配置和命令记忆
- Reactor模型
- CSS样式不生效错误排查
- 系统学习深度学习(三十三)--SSD
- POJ 1768 最大子矩阵
- 生活如此有趣
- 使用自动化脚本dpdk-setup.sh来搭建dpdk开发环境
- Android动画(一)-视图动画与帧动画
- 初始贪心发
- 基于http的在线版日期计算器+云笔记
- initializationerror错误的解决
- ARK(xuetr)与Rootkit
- java的内存管理机制