Noip 2015 子串（洛谷P2679）

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。
现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,
请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?
注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。

输入输出格式

输入格式：
输入文件名为 substring.in。

第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。

输出格式：
输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。
由于答案可能很大,所以这里要求输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。
输入输出样例

输入样例#1：
6 3 1
aabaab
aab
输出样例#1：
2

输入样例#2：
6 3 2
aabaab
aab
输出样例#2：
7

输入样例#3：
6 3 3
aabaab
aab
输出样例#3：
7

对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;
对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2;
对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m;
对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m;
对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m;
对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。

---

这是我见过的题中，代码长度与思维难度比例差距最大的一道神题！
代码真的短的惊人，但是思维难度真的不是一般的大。

首先这一看就是一道动态规划吧。

第一眼看到这题的时候，想到的DP式子是这样的：
dp[ i ][ j ][ k ]代表A串位置到了 i ，B串到了 j ，已经用了 k 个子串。
自然想到： dp[ i ][ j ][ k ] = dp[ i-1 ][ j-1 ][ k ] + dp[ i-1 ][ j-1 ][ k-1 ]； ( A[i] == B[j] )
即：能匹配时，方案数为：单独使用当前字符为一个子串 + 与前面相连形成一个子串;

稍微仔细一想就可以知道，这个DP式子是有问题的。
如果不使用当前字符，情况是什么样的呢？貌似被默默的遗漏了耶……

所以我们就要分开来设了。
设s[ i ][ j ][ k ]为A用到了 i ，B用到了 j ，已经用了 k 个子串， 并且一定用了当前字符(A[i])时的方案数。
设f[ i ][ j ][ k ]为A用到了 i ，B用到了 j ，已经用了 k 个子串， 无论用不用当前字符(A[i])时的方案数总和。

接下来这个转移可就有蛮难想了。
一个一个来，

先分析一下 s 的转移。
能转移的前提自然是 A[ i ] == B [ j ]啦。
既然 A[i] 一定要用，那么依旧是两种情况：独自成一串 或 与前面的成一串。
独自成一串，方案数为：f[ i-1 ][ j-1 ][ k-1]
与前方共成一串，方案数为：s[ i-1 ][ j-1 ][ k ]，因为前一个字符串(A[i-1])也一定要用！
所以合并一下： s[ i ][ j ][ k ] = f[ i-1 ][ j-1 ][ k-1 ] + s[ i-1 ][ j-1 ][ k ]；

接着分析 f 的转移。
f[ i ][ j ][ k ] 的来源也有两种： 使用当前字符 或 不使用当前字符
对于使用当前字符，方案数算法如上，答案即：s[ i ][ j ][ k ]；
对于不使用当前字符，则从f[ i-1 ]转来，即：f[ i -1 ][ j ][ k ]；
合并一下： f[ i ][ j ][ k ] = f[ i-1 ][ j ][ k ] + s[ i ][ j ][ k ]；

所以将两个合并一下子，就得到：

-->对于每一个i , j , k :if( A[i] == B[j] )s[i][j][k] = f[i-1][j-1][k-1] + s[i-1][j-1][k];else s[i][j][k] = 0;f[i][j][k] = f[i-1][j][k] + s[i][j][k];

答案存在f[ n ][ m ][ k ]中，显然边界条件为 f[ i ][ 0 ][ 0 ] = 1；

到这里这道题就做完了。
别看上面说的顺溜溜的，笔者做的时候整个脑子都是混乱的！。
当然直接开O(n*m*k)的数组是肯定开不下的，第一维的 i 显然可以滚掉（对于提高组大佬这肯定是so easy 啦）。
下面是具体实现代码：

#include<bits/stdc++.h>#define mod 1000000007using namespace std;int a,b,k;char A[1002],B[1002];int f[3][1000][1000],s[3][1000][1000];int main(){    scanf("%d%d%d\n",&a,&b,&k);    scanf("%s",A+1);  scanf("%s",B+1);    int now=1,past=0;     f[0][0][0]=1;    for(int e=1;e<=a;e++){        f[now][0][0]=1;        for(int j=1;j<=b;j++){            for(int t=1;t<=k;t++){                if(A[e]==B[j])s[now][j][t]=(s[past][j-1][t]+f[past][j-1][t-1])%mod;                else s[now][j][t]=0;                f[now][j][t]=(f[past][j][t]+s[now][j][t])%mod;            }        }swap(now,past);    }    cout<<f[past][b][k];    return 0;}