DP 矩阵快速幂 Okabe and El Psy Kongroo:CodeForces

来源：互联网发布：电脑怎么修改淘宝评价编辑：程序博客网时间：2024/06/05 05:44

题目:

Okabe and El Psy Kongroo:CodeForces - 821E

题意:

二维平面上，okabe需要从（0,0）到达（k,0）。当处于(x,y)坐标时，下一步只能到达(x+1,y-1),(x+1,y),(x+1,y+1)。
给出n条平行于y轴的线段，第i条线段从x1=ai,到x2=bi,且y=ci，保证ai=bi−1。第i条线段，强制okabe只能行走在y<=ci的坐标当他位于ai<=x<=bi时。问总共有多少种合法的方案到达(k,0)?

数据范围:

1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 10^18
0 ≤ ai < bi ≤ 10^18, 0 ≤ ci ≤ 15

思路:

很快就能想到一个动归方程

f[x][y] = f[x-1][y-1]+f[x-1][y]+f[x-1][y+1]

但是这里k非常的大，直接DP肯定会超时。这时候就要用矩阵乘法，加快运算了。
一开始，我直接在想二维的矩阵乘法怎么构造，想了老半天都想不出来。后来才开始尝试一维，因为f[x]只和f[x-1]相关。
一维怎么构造呢？
令f[y]=f[x][y],因为上面的方程没有常数项，所以大致可以得到矩阵A=[ f[0],f[2],...,f[ci] ]。由于A*B=C，由于之前构造矩阵构造不出来的经验，我觉得直接构造B是比较困难的，于是先去考虑C应该长什么样子。
首先，我们肯定不需要C中出现f[ci+1],也不需要f[−1],并且经过若干次∗B以后肯定需要f[0]和f[ci]。而且C和A的列数是一样多的，所以C只能是[ f[0],f[2],...,f[ci] ]。而且这里的f[0]=f[x+1][0]否则没有意义。
A、C矩阵都有了，我们就可以开始构造B了。这个时候构造就比较简单了，B中(i,j)的值，当(x,i)能到达(x+1,j)时为1,否则为0。大概长这样:

B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 11000000 . . . 0 11100000 . . . 0 01110000 . . . 0 00111000 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 000000 . . . 111 000000 . . . 011 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

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