洛谷P1445（数学+画柿子+线性筛）

这题kscla课间给我的，我依然一天想不出来。

题面
题意：给定n，求有多少对正整数(x,y)满足

1x+1y=1n!

一步一步化简，有

x+yxy=1n!

接着

xy−x∗n!−y∗n!=0

然后掏出祖传的初中数学——因式分解，变成了

(x−n!)(y−n!)=(n!)2

由于x，y都是正整数，故问题变成了(n!)2的约数个数。

若将(n!)2分解质因数

(n!)2=pk11∗pk22∗pk33...

则

ans=(k1+1)∗(k2+1)∗(k3+1)...

根据现学kscla的套路，我们可以枚举质数i，i在n!中出现的次数为

∑k=1n⌊nik⌋

由于每个数只可能是一个质数的k次方，故总复杂度是低于O(n)的。

然后就线性筛把素数找出来就搞定了，嘟嘟噜！

kscla大佬自己想到了一个炫酷的做法，点这里

#include <iostream>#include <fstream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <ctime>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>using namespace std;#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))typedef long long LL;const int N=1001000;const LL mo=1000000007;LL n;LL prime[N],num;bool b[N];LL ans=1ll;int main(){    cin>>n;    for(LL i=2;i<=n;i++)    {        if(!b[i])        prime[++num]=i;        for(int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)        {            b[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)            break;        }    }    for(int i=1;i<=num;i++)    {        LL k=0;        LL tu=prime[i],hy=prime[i];        while(tu<=n)        {            k=(k+n/tu)%mo;            tu=tu*hy;        }        ans=ans*(2*k+1)%mo;    }    cout<<ans<<endl;    return 0;}