洛谷 P2424 约数和

时空限制

1s / 128MB

题目背景

Smart最近沉迷于对约数的研究中。

题目描述

对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？

输入输出格式

输入格式：

输入文件仅一行，两个正整数X和Y(X<Y)，表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。

输出格式：

输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。

输入输出样例

输入样例#1：

2 4

输出样例#1：

14

输入样例#2：

123 321

输出样例#2：

72543

说明

对于20%的数据有1≤X＜Y≤105。

对于60%的数据有1≤X＜Y≤1∗107。

对于100%的数据有1≤X＜Y≤2∗109。

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solution

• 把f(x)用数学方式表示一下就是f(x)=∑d|xd

• 那 ans=∑i=xyf(i)=∑i=xy∑d|id

• 那我们就可以直接枚举然后累加就可以了。

• 但这样的时间复杂度是O(∑i=xyi√)，会TLE

• 所以换一种思路，枚举约数

• 考虑1−n中有几个数是 d 的倍数

• 假如1−n中存在 d 的倍数，那这个数肯定可以表示为 k⋅d(k∈N+)

• k 的范围可以再简化一下，1≤k⋅d≤n⇒1≤k≤⌊nd⌋

• 也就是说从1−n 中把 d 的倍数单独拿出来，那就是d,2d,3d.....⌊nd⌋d

• 所以1−n中 d 的倍数的个数就是 ⌊nd⌋

• 求出 y 的个数，再减去 x−1 的个数，也就是x−y 的个数，这个是比较好想的，所以我就不详细说了。

• 这样∑i=1nf(i)就可以表示为∑i=1n(⌊ni⌋∗i)

• 那ans=∑i=1y(⌊yi⌋∗i)−∑i=1x−1(⌊x−1i⌋∗i)

• 这种做法时间复杂度是O(y)，还是会TLE

• 再看∑i=1n(⌊ni⌋∗i)

• 只看⌊ni⌋，胡乱找个数列出来⌊ni⌋(1≤i≤n)的值

• 以12为例，列出来是12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1 ，第 i 个数表示⌊ni⌋的值

• 发现这里面有些数是重复的，考虑能不能把这些重复的一次算出来

• 把那些相同的值用区间来表示，那只要求出左右端点l,r来就好了

• l 比较好求，观察上面的数列，l 就是上一个r加1，初始l=1

• 那 r 怎么求呢？其实很简单

• r=n/(n/l)

• l是那个数列的下标，所以 (n/l) 就是约数，那 r 就显然了，如果不知道为什么，那就再看一遍“1−n中有几个数是 d 的倍数”。

• l 和r 都知道了， 那答案呢？

• ans+=约数*约数的个数

• 约数=n/l

• 约数的个数=∑i=lri，用等差数列求和公式表示一下就是(l+r)∗(r−l+1)/2

• 即ans+=(n/l)∗(l+r)∗(r−l+1)/2

• 然后就愉快的AC啦！

code

比题解不知道短到那里去的代码

#include<cstdio>using namespace std;typedef long long ll;ll sum(int n) {    if(n<=1) return n;    ll ans=0;    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {        r=n/(n/l);        ans+=(n/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;    }    return ans;}int main() {    int x,y;    scanf("%d%d",&x,&y);    printf("%lld\n",sum(y)-sum(x-1));    return 0;}