51Nod1250 排列与交换

题目

一个数组A = [1, 2, 3, …, n]。
对A进行好恰好k次相邻交换，能得到多少个不同的序列 (S1)？
对A进行最多k次交换，你能得到多少个不同的序列 (S2)？
一次相邻交换是指交换数组A中两个相邻位置的元素，即：交换A[i]和A[i+1]或者A[i]和A[i-1]。
一次交换是指交换数组A中的任意两个位置不同的元素，即：交换A[i]和A[j]，1 <= i, j <= N, i != j。
给出数组A的长度N，以及次数K，求S1和S2。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。
例如：原始数组: [1, 2, 3]
1. 经过两次相邻交换:
我们得到 [1, 2, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2] ==> S1 = 3
2. 经过最多两次交换:
1) 0次交换后: [1, 2, 3]
2) 1次交换后: [2, 1, 3], [3, 2, 1], [1, 3, 2].
3) 两次交换后: [1, 2, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2] ==> S2 = 6

题解

第一个问：设f[i][j]表示做到i，交换次数为j。
那么通过第i个不断往前交换就可以使得被考虑到的所有序列不重不漏。
显然f[i][j]=f[i−1][j−i+1]+...+f[i−1][j]。
所以用一个前缀和优化即f[i][j]+=f[i][j−1]就可以O(1)转移了。
答案就是Σ(i−k)mod2=0f[n][i]，因为只要i与k奇偶性一样，就可以无聊地交换到k次。

第二个问：更简单，设f[i][j]表示做到i，交换次数为j。
第i个数可以向前面i-1个位置交换，所以
f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][j−1]∗(i−1).
答案为Σni=1f[n][i]

这道题目教会我们对于序列DP，通常可以想到“通过第i个不断往前交换就可以使得被考虑到的所有序列不重不漏”。可以解决一部分序列上的简单DP

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#define N 3005#define LL long long#define mo 1000000007#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;LL f[N][N];LL i,j,k,l,n,m,ans;int main(){    scanf("%lld%lld",&n,&k);    f[0][0]=1;    fo(i,1,n){        fo(j,0,k){            f[i][j]=f[i-1][j];            if (j-i>=0 && i && j) f[i][j]=(f[i][j]-f[i-1][j-i]+mo)%mo;        }        if (i) fo(j,1,k) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-1])%mo;    }    fo(i,0,k)if(i%2==k%2)ans=(ans+f[n][i])%mo;    printf("%lld ",ans);    memset(f,0,sizeof(f));    f[0][0]=1;    fo(i,1,n){        f[i][0]=f[i-1][0];        fo(j,1,k)            f[i][j]=(f[i-1][j]+(f[i-1][j-1]*(i-1))%mo)%mo;    }    ans=0;    fo(i,0,k) ans=(ans+f[n][i])%mo;    printf("%lld",ans);    return 0;}