深入解析python版SVM

对于SVM的基本理论不做解释，以及对公式的转换不做分析，直接进入SMO算法中对拉格朗日乘子的求解。

求解过程为：

                  1.选择两个乘子a1和a2。

                  2.对乘子a2求其上下界

                  3.求出新的乘子a2

                  4.依据其上下界对新乘子a2进行剪辑

                  5.依据a2求其新的a1

                  6.对b进行更新

其中在整个过程中，如何选择两个乘子a1和a2是重点

这里介绍两种方法：

1.简单的实现方法

对a1就是循环遍历样本所有数据，找出一个不符合KKT条件的。第二个就是直接随机一个（只需随机的不是a1就行）

SVM使用SMO算法来解决其中涉及到的二次规划问题。一个简单版本的SMO算法的实现如下：

'''随机选择随机数，不等于J'''def selectJrand(i,m):    j=i #we want to select any J not equal to i    while (j==i):        j = int(random.uniform(0,m))  # 一直在挑选随机数j，直到不等于i，随机数的范围在0~m    return j  # 返回挑选好的随机数'''门限函数'''def clipAlpha(aj,H,L):  # 最大不能超过H，最小不能低于L    if aj > H:         aj = H    if L > aj:        aj = L    return aj'''简化版的SMO函数'''def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):  # 输入数据，标记，常数C，容错率，最大迭代次数    dataMatrix = mat(dataMatIn);   # 转换成矩阵    labelMat = mat(classLabels).transpose()  # 转换成矩阵，并转置，标记成为一个列向量，每一行和数据矩阵对应    m,n = shape(dataMatrix)  # 行，列        b = 0;  # 参数b的初始化    alphas = mat(zeros((m,1)))  # 参数alphas是个list，初始化也是全0，大小等于样本数    iter = 0  # 当前迭代次数，maxIter是最大迭代次数    while (iter < maxIter):  # 当超过最大迭代次数，推出        alphaPairsChanged = 0  # 标记位，记录alpha在该次循环中，有没有优化        for i in range(m):  # 第i个样本            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b  # 第i样本的预测类别            Ei = fXi - float(labelMat[i])#if checks if an example violates KKT conditions  # 误差            #是否可以继续优化            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):                j = selectJrand(i,m)  # 随机选择第j个样本                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b  # 样本j的预测类别                Ej = fXj - float(labelMat[j])  # 误差                alphaIold = alphas[i].copy();  # 拷贝，分配新的内存                alphaJold = alphas[j].copy();                if (labelMat[i] != labelMat[j]):                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])                else:                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])                if L==H: print "L==H"; continue                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T                if eta >= 0: print "eta>=0"; continue                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)  # 门限函数阻止alpha_j的修改量过大                #如果修改量很微小                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print "j not moving enough"; continue                # alpha_i的修改方向相反                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])#update i by the same amount as j                                                                        #the update is in the oppostie direction                # 为两个alpha设置常数项b                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2                else: b = (b1 + b2)/2.0                # 说明alpha已经发生改变                alphaPairsChanged += 1                print "iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)        #如果没有更新，那么继续迭代；如果有更新，那么迭代次数归0，继续优化        if (alphaPairsChanged == 0): iter += 1        else: iter = 0        print "iteration number: %d" % iter    # 只有当某次优化更新达到了最大迭代次数，这个时候才返回优化之后的alpha和b    return b,alphas
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使用SMO算法可以迭代更新参数alphas,而依据alphas我们可以得到最终的分类决策超平面的参数w和b。

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