JZOJsenior3366.【NOI2012】随机数生成器
来源:互联网 发布:linux网卡驱动下载 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 12:04
problem
Description
栋栋最近迷上了随机算法,而随机数生成是随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法(Linear Congruential Method)来生成一个随机数列,这种方法需要设置四个非负整数参数 m, a, c, X0,按照下面的公式生成出一系列随机数:
Xn+1=(aXn+c) mod m
其中 mod m 表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出,这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质,因此这种方法被广泛地使用,包括常用的 C++和 Pascal 的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性,不过心急的他仍然想尽快知道Xn是多少。由于栋栋需要的随机数是0, 1, … ,n−1 之间的,他需要将 Xn 除以g取余得到他想要的数,即 Xn mod g,你只需要告诉栋栋他想要的数Xn mod g是多少就可以了。
Input
输入中包含 6 个用空格分割的整数m, a, c, X0, n和g,其中a, c, X0是非负整数,m, n, g是正整数。
Output
输出一个数,即Xn mod g
Sample Input
11 8 7 1 5 3
Sample Output
2
Data Constraint
Hint
Xn的前几项依次是:
k 0 1 2 3 4 5
Xk 1 4 6 0 7 8
因此答案为X5 mod g = 8 mod 3 = 2
analysis
哇,NOI2012的原题耶~然而懂得矩阵乘法套路的我十分钟码完
(所以说这道题应该是NOI的第一题……如果提高组的第一题也有这么水就好了=v=)
这题虽说O(n)的暴力也能拿到50分,但在考场上有多少OIers会满足于区区50分呢?
正解:矩阵乘法get√
构造矩阵式
首先我们可以很明显地推出一个东西:
明显地,这个矩阵式对解题没有任何意义,why?
既然是矩阵的幂,那么中间那个转移矩阵必须是n×n的,否则乘不起来
那么,从初始矩阵出发,我们尝试把转移矩阵变成n×n的:
把
(注意,这步是十分灵活的,给原矩阵添一些无用的元素可能是解决问题的关键)
所以——
(反正我取的p是1,其实p取什么值都无所谓)
所以,这道题就变得十分简单啦,直接套矩乘模板快速幂,then AC
(另,你想想两个10^18的long long乘起来会不会炸掉?
答案是肯定的,WA85,解决方法是把所有long long的相乘换成快速乘即可
快速乘姿势)
快速乘code
long long mul(long long x,long long y){ long long ans=0; while (y) { if (y&1)ans=(ans+x)%m; x=2*x%m; y/=2; } return ans;}
其实快速乘和快速幂没什么区别……变了两个字母而已(但它不会爆long long就对了)
code
#include<cstdio>using namespace std;long long m,a,c,x0,n,g;struct matrix{ long long m[2][2];};matrix I={ 1,0, 0,1};long long mul(long long x,long long y){ long long ans=0; while (y) { if (y&1)ans=(ans+x)%m; x=2*x%m; y/=2; } return ans;}matrix operator *(matrix a,matrix b){ matrix c; for (int i=0;i<=1;i++) { for (int j=0;j<=1;j++) { c.m[i][j]=0; for (int k=0;k<=1;k++)(c.m[i][j]+=mul(a.m[i][k],b.m[k][j]))%=m; } } return c;}matrix power(matrix a,long long k){ matrix ans=I,p=a; while (k) { if (k&1)ans=ans*p; p=p*p; k/=2; } return ans;}int main(){ scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&a,&c,&x0,&n,&g); matrix A= { a,0, c,1 }; matrix answer=power(A,n); long long k=(mul(x0,answer.m[0][0])+answer.m[1][0])%m; printf("%lld",k%g); return 0;}
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