【NOI2012】随机数生成器

【题目描述】

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数生成是随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负参数m,a,c,X[0],按照下面的公式来生成出一系列随机数<X[n]>：
X[n+1]=(aX[n]+c)mod m
其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是有上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。 
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,...g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g,你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。

【输入】

包含6个用空格分割的整数m,a,c,X0,n和g,其中a,c,X0是非负整数,m,n,g是正整数。

【输出】

输出一个数，即Xn mod g。

【输入样例】

11 8 7 1 5 3

【输出样例】

2

【数据范围】

1: n<=100, m,a,c,X0<=100 m是质数

2: n<=1000, m,a,c,X0<=1000 m是质数

3: n<=10^4, m,a,c,X0<=10^4 m是质数

4: n<=10^4, m,a,c,X0<=10^4 m是质数

5: n<=10^5, m,a,c,X0<=10^4 m与a-1互质

6: n<=10^5, m,a,c,X0<=10^4 m与a-1互质

7: n<=10^5, m,a,c,X0<=10^4 m与a-1互质

8: n<=10^6, m,a,c,X0<=10^4

9: n<=10^6, m,a,c,X0<=10^9 m是质数

10:n<=10^6, m,a,c,X0<=10^9

11:n<=10^12, m,a,c,X0<=10^9 m是质数

12:n<=10^12, m,a,c,X0<=10^9 m是质数

13:n<=10^16, m,a,c,X0<=10^9 m与a-1互质

14:n<=10^16, m,a,c,X0<=10^9 m与a-1互质

15:n<=10^16, m,a,c,X0<=10^9

16:n<=10^18, m,a,c,X0<=10^9

17:n<=10^18, m,a,c,X0<=10^9

18:n<=10^18, m,a,c,X0<=10^18 m是质数

19:n<=10^18, m,a,c,X0<=10^18 m与a-1互质

20:n<=10^18, m,a,c,X0<=10^18

【题解】

数据范围略带喜感，完全不知道m是质数对解题有什么帮助0.0难道神犇们直接用公式大法O(1)秒了此题么……

从X[i-1]到X[i]的过程是线性变换，所以考虑构造矩阵求解。为了方便，我们设X[i]=a*X[i-1]+c*Y[i-1]，Y[i]=0*X[i-1]+1*Y[i-1]，X[0]已经给出，Y[0]=1，这样就可以构造出一个二阶矩阵来递推了：

┌A C┐^N

└0 1┘

矩阵乘法使用快速幂优化。

在进行矩阵乘法时可能出现a*b超过long long范围，但a*b%m不会越界的情况，所以要使用倍增乘法改良。

【代码】

矩阵乘法时间复杂度O(logN)，没有计算倍增乘法的复杂度（反正秒出了Σ=。=Σ）

【NOI2012】随机数生成器#代码