JZOJ 3366. 【NOI2012】随机数生成器

Description

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数生成是随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数 m, a, c, X0，按照下面的公式生成出一系列随机数：

Xn+1=(a∗Xn+c)modm

其中 mod m 表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的 C++和 Pascal 的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道Xn是多少。由于栋栋需要的随机数是0, 1, … ,n−1 之间的，他需要将 Xn 除以g取余得到他想要的数，即 Xn mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数Xn mod g是多少就可以了。

Input

输入中包含 6 个用空格分割的整数m, a, c, X0, n和g，其中a, c, X0是非负整数，m, n, g是正整数。

Output

输出一个数，即Xn mod g

Sample Input

11 8 7 1 5 3

Sample Output

2

Data Constraint

Solution

• 这题是典型的矩阵乘法！

• 观察题目，目标是将 X0 转移成 Xn 且复杂度必须为 log 级别。

• 敏锐地考虑矩阵乘法——（ Xi−1，c ）—》（ Xi，c ）

• 那么友矩阵显然就是

  [a101]

• 矩阵快速幂转移即可！

• 还要注意中间有 longlong 相乘取模，需要使用技巧如下来避免高精度

• 对于两个数 a∗b ，以 109 为分界隔开，相当于变成 (a1∗109+a2)∗(b1∗109+b2)

• 拆开可得： a1∗b1∗1018+a1∗b2∗109+a2∗b1∗109+a2∗b2

• 对于 10x ，只需进行 x 次乘 2 乘 5 即可，之后直接相乘取模！

Code

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;typedef long long LL;const LL N=1e9;LL m,n,g;LL a[3],b[3],c[3][3],d[3][3],f[3][3];LL get(LL x,LL y){    LL a1=x/N,a2=x%N,b1=y/N,b2=y%N;    LL t=a1*b1%m,t1=a1*b2%m,t2=a2*b1%m;    for(int i=1;i<=18;i++) t=t*2%m*5%m;    t=(t+a2*b2%m)%m;    for(int i=1;i<=9;i++) t1=t1*2%m*5%m;    for(int i=1;i<=9;i++) t2=t2*2%m*5%m;    t=(t+t1)%m;    t=(t+t2)%m;    return t;}void ksm(LL x){    memcpy(f,c,sizeof(f));    while(x)    {        if(x&1)        {            memset(d,0,sizeof(d));            for(int i=1;i<=2;i++)                for(int j=1;j<=2;j++)                    for(int k=1;k<=2;k++)                        d[i][j]=(d[i][j]+get(f[i][k],c[k][j]))%m;            memcpy(f,d,sizeof(f));        }        memset(d,0,sizeof(d));        for(int i=1;i<=2;i++)            for(int j=1;j<=2;j++)                for(int k=1;k<=2;k++)                    d[i][j]=(d[i][j]+get(c[i][k],c[k][j]))%m;        memcpy(c,d,sizeof(c));        x>>=1;    }}int main(){    cin>>m>>c[1][1]>>a[2]>>a[1]>>n>>g;    c[2][1]=c[2][2]=1;    ksm(n-1);    for(int i=1;i<=2;i++)        for(int j=1;j<=2;j++)            b[i]=(b[i]+get(a[j],f[j][i]))%m;    cout<<b[1]%g;    return 0;}