hihocoder #1445 : 后缀自动机二·重复旋律5

听说是sam最简单的一道模板题，对于我这种初学者还是有点难度，就是他的那个三个转移状态。理清楚就行了

小Hi：本周的题目其实就是给定一个字符串S，要求出S的所有不同子串的数目。小Ho你知道如何快速求解么？

小Ho：我们最近在讨论后缀自动机，所以肯定是和后缀自动机有关！根据上周学习的SAM的基本概念和性质，SAM的每个状态st都包含了一部分S的子串，记作substrings(st)，并且(1)对于两个不同状态u和v，包含的子串substrings(u) ∩ substrings(v) = ∅; (2)每个子串都恰好被一个状态包含。所以我们只要构造出来S对应的SAM，再对所有状态st求Σ(maxlen(st)-minlen(st))就是子串的数目。

小Hi：没错。上周我们提到SAM有O(length(S))的构造法。这周我们就来讲一讲如何构造。

小Hi：首先，为了实现O(length(S))的构造，我们对于每个状态不能保存太多数据。例如substring(st)肯定是没法保存下来了。对于状态st我们只保存如下数据：

数据含义maxlen[st]st包含的最长子串的长度minlen[st]st包含的最短字串的长度trans[st][]st的转移函数slink[st]st的Suffix Link

小Hi：其次，我们用增量法构造S对应的SAM。我们从初始状态开始，每次添加一个字符S[1], S[2], ... S[N]，依次构造可以识别S[1], S[1..2], S[1..3], ... S[1..N]=S的SAM。

小Hi：假设我们已经构造好了S[1..i]的SAM。这时我们要添加字符S[i+1]，于是我们新增了i+1个S[i+1]的后缀要识别：S[1..i+1], S[2..i+1], ... S[i..i+1], S[i+1]。 考虑到这些新增状态分别是从S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)通过字符S[i+1]转移过来的，所以我们还要对S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)对应的状态们增加相应的转移。

小Hi：我们假设S[1..i]对应的状态是u，等价于S[1..i]∈ substrings(u)。根据上周的讨论我们知道S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)对应的状态们恰好就是从u到初始状态S的由Suffix Link连接起来路径上的所有状态，不妨称这条路径(上所有状态集合)是suffix-path(u->S)。

小Hi：显然至少S[1..i+1]这个子串不能被以前的SAM识别，所以我们至少需要添加一个状态z，z至少包含S[1..i+1]这个子串。

小Hi：首先考虑一种最简单的情况：对于suffix-path(u->S)的任意状态v，都有trans[v][S[i+1]]=NULL。这时我们只要令trans[v][S[i+1]]=z，并且令slink[st]=S即可。

小Hi：例如我们已经得到"aa"的SAM，现在希望构造"aab"的SAM。如下图所示：

小Hi：此时u=2，z=3，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径2-1-S。并且这3个状态都没有对应字符b的转移。所以我们只要添加红色转移trans[2][b]=trans[1][b]=trans[S][b]=z即可。当然也不要忘了slink[3]=S。

小Ho：那要是suffix-path(u->S)上有一个节点v，使得trans[v][S[i+1]]!=NULL怎么办？

小Hi：好问题。我们以下图为例，假设我们已经构造"aabb"的SAM如图，现在我们要增加一个字符a构造"aabba"的SAM。

小Hi：这时u=4，z=6，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径4-5-S。对于状态4和状态5，由于它们都没有对应字符a的转移，所以我们只要添加红色转移trans[4][a]=trans[5][a]=z=6即可。面对S时我们遇到了小Ho你提出的问题，trans[S][a]=1已经存在，怎么办？

小Ho：怎么办呢？

小Hi：不失一般性，我们可以认为在suffix-path(u->S)遇到的第一个状态v满足trans[v][S[i+1]]=x。这时我们需要讨论x包含的子串的情况。如果x中包含的最长子串就是v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1=maxlen(x)，比如在上面的例子里，v=S, x=1，longest(v)是空串，longest(1)="a"就是longest(v)+'a'。这种情况比较简单，我们只要增加slink[z]=x即可。

小Hi：如果x中包含的最长子串 不是 v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1 < maxlen(x)，这种情况最为复杂，不失一般性，我们用下图表示这种情况，这时增加的字符是c，状态是z。

小Hi：在suffix-path(u->S)这条路径上，从u开始有一部分连续的状态满足trans[u..][c]=NULL，对于这部分状态我们只需增加trans[u..][c]=z。紧接着有一部分连续的状态v..w满足trans[v..w][c]=x，并且longest(v)+c不等于longest(x)。这时我们需要从x拆分出新的状态y，并且把原来x中长度小于等于longest(v)+c的子串分给y，其余字串留给x。同时令trans[v..w][c]=y，slink[y]=slink[x], slink[x]=slink[z]=y。

小Ho：好像比较复杂。

小Hi：我们来举个例子。假设我们已经构造"aab"的SAM如图，现在我们要增加一个字符b构造"aabb"的SAM。

小Hi：当我们处理在suffix-path(u->S)上的状态S时，遇到trans[S][b]=3。并且longest(3)="aab"，longest(S)+'b'="b"，两者不相等。其实不相等意味增加了新字符后endpos("aab")已经不等于endpos("b")，势必这两个子串不能同属一个状态3。这时我们就要从3中新拆分出一个状态5，把"b"及其后缀分给5，其余的子串留给3。同时令trans[S][c]=5, slink[5]=slink[3]=S, slink[3]=slink[6]=5。

小Hi：整个过程的代码如下，其中状态0代表初始状态S；状态u, v, x, y, z的意义如上文所述；-1代表slink或者trans不存在。

const int MAXL = 1000000;string s;int n = 0, len, st;int maxlen[2 * MAXL + 10], minlen[2 * MAXL + 10], trans[2 * MAXL + 10][26], slink[2 * MAXL + 10];int new_state(int _maxlen, int _minlen, int* _trans, int _slink) {        maxlen[n] = _maxlen;        minlen[n] = _minlen;        for(int i = 0; i < 26; i++) {                if(_trans == NULL)                        trans[n][i] = -1;                else                        trans[n][i] = _trans[i];        }        slink[n] = _slink;        return n++;}int add_char(char ch, int u) {        int c = ch - 'a';        int z = new_state(maxlen[u] + 1, -1, NULL, -1);        int v = u;        while(v != -1 && trans[v][c] == -1) {                trans[v][c] = z;                v = slink[v];        }        if(v == -1) { //最简单的情况，suffix-path(u->S)上都没有对应字符ch的转移                minlen[z] = 1;                slink[z] = 0;                return z;        }        int x = trans[v][c];        if(maxlen[v] + 1 == maxlen[x]) { //较简单的情况，不用拆分x                minlen[z] = maxlen[x] + 1;                slink[z] = x;                return z;        }        int y = new_state(maxlen[v] + 1, -1, trans[x], slink[x]); //最复杂的情况，拆分x        slink[y] = slink[x];        minlen[x] = maxlen[y] + 1;        slink[x] = y;        minlen[z] = maxlen[y] + 1;        slink[z] = y;        int w = v;        while(w != -1 && trans[w][c] == x) {                trans[w][c] = y;                w = slink[w];        }        minlen[y] = maxlen[slink[y]] + 1;        return z;}

#include <bits/stdc++.h>#define pb push_back#define mp make_pairusing namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 2*1e6 + 8;string s;struct SAM{    int ch[maxn][26],pre[maxn],val[maxn],endpos[maxn];  int last, tot;    void init(){        last = tot = 0;        memset(ch[0], -1, sizeof ch[0]);        pre[0] = -1; val[0] = 0;    }    int extend(int c, int ind){        int p = last, np = ++tot;        val[np] = val[p] + 1; endpos[np] = ind;        memset(ch[np], -1, sizeof ch[np]);        while(~p && ch[p][c] == -1) ch[p][c] = np, p = pre[p];        if(p == -1) pre[np] = 0;        else{            int q = ch[p][c];            if(val[q] != val[p] + 1){                int nq = ++tot;                memcpy(ch[nq], ch[q], sizeof ch[q]);                val[nq] = val[p] + 1;                pre[nq] = pre[q];                pre[q] = pre[np] = nq;                while(~p && ch[p][c] == q) ch[p][c] = nq, p = pre[p];            }            else pre[np] = q;        }        last = np;        return val[np] - val[pre[np]];    }}sam;int main(){ int n, i;    LL sum =0;    cin >> s;    n = s.size();    sam.init();    for(i = 0; i < n; i++) sum += sam.extend(s[i] - 'a', i+1);    cout << sum << endl;;    return 0;}