挑战程序竞赛系列（84）：3.6极限情况（1）

挑战程序竞赛系列（84）：3.6极限情况（1）

传送门：POJ 1981: Circle and Points

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题意：

平面上有N个点，给定半径为1的圆，最多能在圆内点的个数。

这种题目很大特色在于，如果枚举圆的圆心，那么在偌大的空间中，有无数个圆，显然是不现实的。所以得考虑极限情况，也就是找出一种特殊的状态，更新它们的集合，能够获得答案。

此题的极限情况为：当两个点在一个圆上时，最大值一定在于这种情况。因此，我们可以枚举两个点构成的圆，并且计算该圆内有多少个点，更新最大值即可。

证明：
假设存在一个圆，圆内包含了最大个数的点，稍微移动圆的圆心不会发生任何变化，直到移动至出现两个点在圆上时，最大值依旧没有发生变化，但一旦再移动时，最大个数将减小。所以最大值一定存在于某两个点i和j构成的圆，且i和j在圆上or圆内。

参考至：
http://www.hankcs.com/program/algorithm/poj-1981-circle-and-points.html

所以我们只需要计算出两个点构成的极角，当然都得以i为坐标原点。

• atan2的角度为j和i的纵坐标与横坐标之比，取反tan。
• acos的角度为d/2，图中很清楚了。
• 所以两个极限角即为atan2 - acos和atan2 + acos。

最后，对极角排个序，遇到起始点加1，遇到终点减1，不断更新重叠区域个数的最大值即可。

代码如下：

import java.io.BufferedReader;import java.io.File;import java.io.FileInputStream;import java.io.IOException;import java.io.InputStream;import java.io.InputStreamReader;import java.io.PrintWriter;import java.util.Arrays;import java.util.StringTokenizer;public class Main{    String INPUT = "./data/judge/201709/P1981.txt";    public static void main(String[] args) throws IOException {        new Main().run();    }    static final int MAX_N = 302;    class P {        double x;        double y;        P(double x, double y){            this.x = x;            this.y = y;        }    }    class PolarAngle implements Comparable<PolarAngle>{        double  angle;        boolean flag;        PolarAngle(double angle, boolean flag){            this.angle = angle;            this.flag  = flag;        }        @Override        public int compareTo(PolarAngle that) {            return Double.compare(this.angle, that.angle);        }    }    P[] points = new P[MAX_N];    PolarAngle[] pa = new PolarAngle[2 * MAX_N];    int N;    int ans;    double dist(P a, P b) {        double dx = a.x - b.x;        double dy = a.y - b.y;        return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);    }    void solve() {        ans = 1;        for (int i = 0; i < N; ++i) {            int m = 0;            for (int j = 0; j < N; ++j) {                double d = 0;                if (i != j && (d = dist(points[i], points[j])) <= 2.0) {                    double theta = Math.acos(d / 2);                    double phi   = Math.atan2(points[j].y - points[i].y, points[j].x - points[i].x);                    pa[m++] = new PolarAngle(phi - theta, true);  // start                    pa[m++] = new PolarAngle(phi + theta, false); // end;                }            }            Arrays.sort(pa, 0, m);            int sum = 1;            for (int j = 0; j < m; ++j) {                if (pa[j].flag) {                    sum ++;                }                else {                    sum --;                }                ans = Math.max(ans, sum);            }        }    }    void read() {        while (true) {            N = ni();            if (N == 0) break;            for (int i = 0; i < N; ++i) {                points[i] = new P(nd(), nd());            }            ans = 0;            solve();            out.println(ans);        }    }    FastScanner in;    PrintWriter out;    void run() throws IOException {        boolean oj;        try {            oj = ! System.getProperty("user.dir").equals("F:\\java_workspace\\leetcode");        } catch (Exception e) {            oj = System.getProperty("ONLINE_JUDGE") != null;        }        InputStream is = oj ? System.in : new FileInputStream(new File(INPUT));        in = new FastScanner(is);        out = new PrintWriter(System.out);        long s = System.currentTimeMillis();        read();        out.flush();        if (!oj){            System.out.println("[" + (System.currentTimeMillis() - s) + "ms]");        }    }    public boolean more(){        return in.hasNext();    }    public int ni(){        return in.nextInt();    }    public long nl(){        return in.nextLong();    }    public double nd(){        return in.nextDouble();    }    public String ns(){        return in.nextString();    }    public char nc(){        return in.nextChar();    }    class FastScanner {        BufferedReader br;        StringTokenizer st;        boolean hasNext;        public FastScanner(InputStream is) throws IOException {            br = new BufferedReader(new InputStreamReader(is));            hasNext = true;        }        public String nextToken() {            while (st == null || !st.hasMoreTokens()) {                try {                    st = new StringTokenizer(br.readLine());                } catch (Exception e) {                    hasNext = false;                    return "##";                }            }            return st.nextToken();        }        String next = null;        public boolean hasNext(){            next = nextToken();            return hasNext;        }        public int nextInt() {            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return Integer.parseInt(more);        }        public long nextLong() {            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return Long.parseLong(more);        }        public double nextDouble() {            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return Double.parseDouble(more);        }        public String nextString(){            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return more;        }        public char nextChar(){            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return more.charAt(0);        }    }}