bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设（斜率DP）

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

32

设dp[i]表示处理完前i个工厂的最小花费

先往最暴力的方法想，可以得出

其中c[y]表示在第y个工厂建造仓库的花费，len[y]表示第1个工厂与第y个工厂之间的距离，sum[y]表示存货量

复杂度O(n^3)

其中很显然可以求前缀和，不过len[]里面的都是变量，要转一下公式得

这个公式相当于dp[y] = min(dp[x]+所有物品都从0开始运到y的费用减去所有物品从0送到它所在工厂的费用)+c[y]

令a[i]为sum[i]的前缀和，b[i]为sum[i]*len[i]的前缀和，公式为

复杂度O(n²)

对于当前工厂y，如果在j点建工厂比在k点建工厂更优（当然中间都不建，且j>k）那么有

这样维护一个队列就好了，假设k是队尾，j是k前一个并且满足上式，那么将k弹掉

队头类似，计算的时候建议将(a[j]-a[k])除掉防止爆long long

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;#define LL long longtypedef struct{LL x;LL val;LL pri;}Point;Point s[1000005];LL dp[1000005], sum[1000005], pri[1000005], q[1000005];double Jud(LL j, LL k){return 1.0*(dp[j]-dp[k]+pri[j]-pri[k])/(sum[j]-sum[k]);}int main(void){LL n, i, l, r;scanf("%lld", &n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld%lld", &s[i].x, &s[i].val, &s[i].pri);sum[i] = sum[i-1]+s[i].val;pri[i] = pri[i-1]+s[i].val*s[i].x;}memset(dp, 62, sizeof(dp));dp[0] = 0;l = r = 1;for(i=1;i<=n;i++){while(l<r && Jud(q[l+1], q[l])<s[i].x)l++;dp[i] = dp[q[l]]+(sum[i]-sum[q[l]])*s[i].x-(pri[i]-pri[q[l]])+s[i].pri;while(l<r && Jud(i, q[r])<Jud(q[r], q[r-1]))  r--;q[++r] = i;}printf("%lld\n", dp[n]);return 0;}