飞扬的小鸟

【问题描述】

Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家 需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了 水管或者掉在地上的话，便宣告失败。 为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编：
1. 游戏界面是一个长为 n，高为 m 的二维平面，其中有 k 个管道（忽略管道的宽度）。
2. 小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边 任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游 戏完成。
3. 小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 1，竖直移动的距离由玩家控制。如 果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 X，每个单位时间可以点击多次，效果叠加； 如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 Y。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上 升的高度 X和下降的高度 Y 可能互不相同。
4. 小鸟高度等于 0 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 m 时，无法再上升。 现在，请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟 最多可以通过多少个管道缝隙。

【输入】

输入文件名 bird.in。 第 1 行有 3 个整数 n，m，k，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开； 接下来的 n 行，每行 2 个用一个空格隔开的整数 X 和 Y，依次表示在横坐标位置 0~n-1 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 X，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时， 小鸟在下一位置下降的高度 Y。 接下来 k 行，每行3个整数 P，L，H，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一 个管道，其中 P 表示管道的横坐标，L 表示此管道缝隙的下边沿高度为L，H表示管道缝隙 上边沿的高度（输入数据保证 P 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。

【输出】

输出文件名为 bird.out。 共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 1，否则输出 0。 第二行，包含一个整数，如果第一行为1，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数， 否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

这是一道NOIP的真题，作为第三题的话难度是不算大的，分也比较好切。

题目分析：
关键字：DP，取或不取以及取多少（背包问题）
核心还是多阶段决策：对于现在这个位置而言，决策有两种
1. 不点击屏幕（即会向下掉）
2. 点击屏幕（即向上飞）

若点击屏幕，还需要考虑点击多少下，由于可以无限制点击，就可以想到完全背包问题。同时的，我们知道现在的决策，我们就可以去更新下一个状态，
那么转移也只需要从前一次的状态转移过来即可，dp的定义也十分自然的得出：dp[i][j]表示达到i列的j位置时，最小点击次数是多少。
状态转移方程：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-k*up[i-1]],dp[i-1][j+down[i-1]]|j-k*up[i-1]>0&&j+down[i-1]<=m);(注意：若j是顶端m是，可以从m-up[i-1]到m转移过来）
//i是目前的横坐标，j是纵坐标，k是点击次数

若不加优化的话,就是直接循环k点击的次数，规规矩矩地更新，肯定是超时的，那我们看看他们为什么会超时：

如图所示，目前更新的点事由1,2,3,4更新过来的，而之前更新的点事由1,2,3更新过来的，发现红线有的都与黑线平行，说明它们的更新只相差4这个点，而其它的点都在之前更新的点更新过了，又重复计算了1,2,3三个点，所以超时了，既然在之前的点更新过了，我们就可以从前面的点直接转移过来。修改状态转移方程(向上飞时的方程）：
dp[i][j]=min{dp[i][j-up[i-1]]+1,dp[i-1][j-up[i-1]]+1}
这样k这个维度就节省下来了，复杂度为O(n*m)，就可以过了。

其实细心的读者可以发现其中的背包，我们可以把每个概念抽象：

1. 点击次数为价值。
2. 上升下降的空间为体积。
3. 每次上升下降的距离为每个物品的体积。
4. 每个横坐标是一件物品。

题目就变成求最小价值，看看是否好理解呢.下面给出代码：
比较标准的两份（第二份是Komachi大犇的）：

#include<cstdio>#include<queue>#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;#define N_MAX 10005#define M_MAX 1005#define fin(x) freopen(x,"r",stdin)#define fout(x) freopen(x,"w",stdout)int n,m,K,INF,ans=1E9;int dp[N_MAX][M_MAX],up[N_MAX],down[N_MAX],L[N_MAX],H[N_MAX];//dp[i][j]表示从开始到达第i个点的j高度最少点击屏幕的次数void chkmin(int &a,int b){if(a>b) a=b;}void chkmax(int &a,int b){if(a<b) a=b;}int main(){    scanf("%d %d %d",&n,&m,&K);    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d %d",&up[i],&down[i]);    for(int i=0;i<=n;i++) L[i]=1,H[i]=m;    for(int i=1;i<=K;i++){        int x,y,z;        scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);        L[x]=y+1,H[x]=z-1;    }    memset(dp,63,sizeof(dp));INF=dp[1][1];//初始化     for(int i=1;i<=m;i++) dp[0][i]=0;//第0列都可以出发，所以为0     int res=0;//res目前通过的管道数     for(int i=1;i<=n;i++){        int flag=0;        //按         for(int j=1;j<=m;j++){            if(j-up[i-1]>=1){//类似完全背包                 chkmin(dp[i][j],dp[i][j-up[i-1]]+1);                chkmin(dp[i][j],dp[i-1][j-up[i-1]]+1);            }        }        for(int j=m-up[i-1];j<=m;j++){//可能会顶到，特别判断一下             chkmin(dp[i][m],dp[i][j]+1);            chkmin(dp[i][m],dp[i-1][j]+1);        }        //不按        for(int j=L[i];j<=H[i];j++) if(j+down[i-1]<=m) chkmin(dp[i][j],dp[i-1][j+down[i-1]]);        for(int j=1;j<L[i];j++) dp[i][j]=INF;//把不行的赋值会INF         for(int j=H[i]+1;j<=m;j++) dp[i][j]=INF;        for(int j=1;j<=m;j++) if(dp[i][j]!=INF){flag=1;break;}        if(!flag){            printf("0\n%d\n",res);            return 0;           }else{            if(H[i]!=m) res++;        }    }    int ans=INF;    for(int i=1;i<=m;i++) chkmin(ans,dp[n][i]);    printf("1\n%d\n",ans);    return 0;}#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define REP(i,a,b) for(int i=(a),i##_end_=(b);i<i##_end_;i++)#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),i##_end_=(b);i>i##_end_;i--)void Rd(int &res){char c;res=0;while(c=getchar(),c<48);do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);while(c=getchar(),c>47);}#define N 10004#define M 1004#define INF 0x3f3f3f3f#define chkmin(a,b) a=min(a,b)int n,m,k,X[N],Y[N],L[N],H[N];struct P100 {int DP[N][M],V[M];void Solve() {memset(DP,63,sizeof(DP));memset(DP[0],0,sizeof(DP[0]));REP(j,0,L[0]+1)DP[0][j]=INF;REP(j,H[0],m+1)DP[0][j]=INF;REP(i,1,n+1){REP(j,0,m){if(j>=X[i])V[j]=min(DP[i-1][j]+1,V[j-X[i]]+1);else V[j]=DP[i-1][j]+1;V[j]=min(INF,V[j]);}REP(j,0,m){if(j+Y[i]<=m) DP[i][j]=DP[i-1][j+Y[i]];if(j>=X[i]) chkmin(DP[i][j],V[j-X[i]]);}chkmin(DP[i][m],DP[i-1][m]+1);REP(j,1,m)chkmin(DP[i][m],DP[i-1][j]+(m-j+X[i]-1)/X[i]);REP(j,0,L[i]+1) DP[i][j]=INF;REP(j,H[i],m+1) DP[i][j]=INF;}int Ans=INF;REP(j,1,m+1) chkmin(Ans,DP[n][j]);if(Ans<INF){puts("1");printf("%d\n",Ans);return;}puts("0");k-=H[n]!=m+1;DREP(i,n-1,0) {REP(j,1,m+1)if(DP[i][j]<INF) {printf("%d\n",k);return;}if(H[i]!=m+1) k--;}}}P100;int main(){Rd(n),Rd(m),Rd(k);REP(i,1,n+1) Rd(X[i]),Rd(Y[i]);REP(i,0,n+2) L[i]=0,H[i]=m+1;REP(i,0,k){int x,l,h;Rd(x),Rd(l),Rd(h);L[x]=l,H[x]=h;}P100.Solve();return 0;}

（顺便加上空间优化）（同学那copy的）

#include<bits/stdc++.h>#define M 10005using namespace std;struct node1{int up,down;}A[M];struct node2{int l,h,p;node2(){p=0;}}B[M];int dp[2][1005];int main(){    int n,m,k;    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&A[i].up,&A[i].down);    for(int i=1;i<=k;i++){        int x;scanf("%d",&x);        scanf("%d%d",&B[x].l,&B[x].h);B[x].p=1;    }    for(int i=1;i<=n;i++){        memset(dp[i%2],63,sizeof(dp[i%2]));        int L,R,p=1;        if(B[i].p)L=B[i].l+1,R=B[i].h-1;        else L=1,R=m;        for(int j=1;j<=m;j++){            int d=j+A[i].up;            if(d>m)d=m;            if(dp[i%2][d]>dp[1-i%2][j]+1)dp[i%2][d]=dp[1-i%2][j]+1;        }        for(int j=1;j<=m;j++){            int d=j+A[i].up;            if(d>m)d=m;            if(dp[i%2][d]>dp[i%2][j]+1)dp[i%2][d]=dp[i%2][j]+1;        }        for(int j=1;j<=m;j++)            if(j-A[i].down>=L&&j-A[i].down<=R&&dp[i%2][j-A[i].down]>dp[1-i%2][j]) dp[i%2][j-A[i].down]=dp[1-i%2][j];        for(int j=1;j<=m;j++){            if(dp[i%2][j]<=10000000&&j<=R&&j>=L) p=0;            else dp[i%2][j]=10000005;        }        if(p){            int cnt=0;            for(int j=0;j<i;j++)if(B[j].p)cnt++;            printf("0\n%d\n",cnt);            return 0;         }    }    int ans=1e9;    for(int i=1;i<=m;i++)if(ans>dp[n%2][i])ans=dp[n%2][i];    printf("1\n%d\n",ans);    return 0;}