分解质因数 欧拉函数

NKOJ3801 分解质因数

问题描述

记Pi表示正整数i的质因数集合。

已知正整数n,求满足下列条件的有序正整数对(a,b)的数目：

(1)1<=a<=b<=n
(2)t为a,b的最大公约数，Pt是Pn的子集

输入格式

一个正整数n.

输出格式

一个正整数，表示合题意的有序正整数对的数目.

样例输入 1

6

样例输出 1

20

样例输入 2

7

样例输出 2

19

数据范围

50%的数据1<=n<=2000;

100%的数据1<=n<=1000000.

来源 @lym01803

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1是没有质因数的，因此1的质因数集合是空集，而空集属于所有集合。此时显然可以用欧拉函数来搞。

注意到欧拉函数的计算式：

ϕ(x)=x(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)…(1−1pk)，p1,p2…pk,x=pa11pa22pa33…pakk

欧拉函数函数的本质是容斥原理。那么将欧拉函数稍加改动，设p是Pn中的元素，那么我们可以先求出正常的ϕ(x)，当p|x时将ϕ(x)乘上pp−1得到ϕ′(x)，即可消除容斥原理的影响。

这样的话，最终答案就是∑ni=1ϕ′(i)

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#include<stdio.h>#define ll long long#define MAXN 1000005int N,E[MAXN];ll Ans,phi[MAXN],P[MAXN];void Euler(int x){    int i,j;    phi[1]=1;    for(i=2;i<=x;i++)    {        if(!phi[i])phi[i]=i-1,P[++P[0]]=i;        for(j=1;j<=P[0]&&i*P[j]<=x;j++)        {            if(i%P[j]==0)            {                phi[i*P[j]]=phi[i]*P[j];                break;            }            else phi[i*P[j]]=phi[i]*phi[P[j]];        }    }}int main(){    int i,j;    scanf("%d",&N);    Euler(N);    for(i=1;i<=P[0]&&P[i]<=N;i++)if(N%P[i]==0)E[++E[0]]=P[i];    for(i=1;i<=N;i++)    for(j=1;j<=E[0];j++)    {        if(i%E[j]==0)phi[i]=phi[i]*E[j]/(E[j]-1);    }    for(i=1;i<=N;i++)Ans+=phi[i];    printf("%lld",Ans);}