phi(大数质因数分解欧拉函数)

总结一下此题用的知识。。。
快速加，快速幂，素数判断（Miller_Rabin），gcd，Pollard_Rho。。。。
这里就写一个Pollard_Rho
对于一个大整数n，我们取任意一个数x使得x是n的质因数的几率很小，但如果取两个数x1以及x2使得它们的差是n的因数的几率就提高了（我也不会证明。。。。），如果取x1以及x2使得gcd(abs(x1−x2),n)>1的概率就更高了。这就是Pollard-Rho算法的主要思想。

对于满足gcd(abs(x1−x2),n)>1的x1和x2，gcd(abs(x1−x2),n)就是n的一个因数，只需要判断它是否为素数，若为素数，则是n的质因数，否则递归此过程。

其中判断素数就使用Miller-Rabin算法。

那么我们怎样不断取得x1和x2呢？
x1在区间[1,n]中随机（rand）出来，而x2则由x2=(x1*x1%n+c)%n推算出来，其中c为任意给定值，事实证明，这样就是比较优的。

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;ll x,y,s[19999999],num;ll multi(ll a,ll k,ll p){    ll ans=0;    while(k){        if(k&1ll) ans=(a+ans)%p;a=(a+a)%p;k>>=1;    }    return ans;}ll qpow(ll a,ll k,ll p){    ll ans=1;    while(k){        if(k&1ll) ans=multi(a,ans,p);a=multi(a,a,p);k>>=1;    }    return ans;}bool Miller_Rabin(ll n){    if(n==2) return 1;    ll u=n-1,t=0,s=20;    while(!(u&1ll))        t++,u>>=1;    while(s--){        ll a=rand()%(n-1)+1;        x=qpow(a,u,n);        for(int i=1;i<=t;i++){            y=x,x=multi(x,x,n);            if(x==1&&y!=1&&y!=n-1)return 0;         }if(x!=1) return 0;    }       return 1;}ll gcd(ll a,ll b){     return b?gcd(b,a%b):a;}ll Pollard_Rho(ll n,ll c){    ll i=1,k=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x;    while(i++){        x=(multi(x,x,n)+c)%n;        ll p=gcd(y-x,n);        if(p>1&&p<n) return p;        if(x==y) return n;        if(i==k) y=x,k<<=1;    }}void find(ll n,ll c){    if(n==1) return ;    if(Miller_Rabin(n)) {        s[++num]=n;return ;    }    ll p=n,k=c;     while(p==n) p=Pollard_Rho(n,c--);    find(p,k);find(n/p,k);}ll N;int main(){    freopen("phi.in","r",stdin);    freopen("phi.out","w",stdout);    scanf("%lld",&N);    find(N,99999);    //for(int i=1;i<=num;i++) printf("%d ",s[i]);    int t1=unique(s+1,s+num+1)-s-1;     for(int i=1;i<=t1;i++){        N*=(s[i]-1);N/=s[i];        }    printf("%lld",N);}