【题】【数学(欧拉函数)】NKOJ3801 分解质因数

NKOJ3801 分解质因数
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问题描述
记Pi表示正整数i的质因数集合。
已知正整数n,求满足下列条件的有序正整数对(a,b)的数目：
(1)1<=a<=b<=n
(2)t为a,b的最大公约数，Pt是Pn的子集

输入格式
一个正整数n.

输出格式
一个正整数，表示合题意的有序正整数对的数目.

样例输入 1
6

样例输出 1
20

样例输入 2
7

样例输出 2
19

提示
[数据范围]

50%的数据1<=n<=2000;

100%的数据1<=n<=1000000.

样例说明1
在满足1<=a<=b<=6的条件下，共有21对；除开(5,5)不合题意，其余均满足条件。

样例说明2
在满足1<=a<=b<=7的条件下，共有28对；其中(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),

(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)不合题意.

来源 LYM

思路：
先将n分解质因数
设f[x]表示小于等于x，且和x的公共质因数全在给定的数字内的个数
该题即求sum(f[i]) 1<=i<=n.
观察发现f定义很像欧拉函数，所以只需将求欧拉的代码修改：每次枚举到质数时选不再范围内的质数来更新。

先考虑直接求：

int g(int n){    if(!pr[n]) return mark[n] ? n : n-1;    int ans=n;    for(int i=2;i*i<=n;i++)    {        if(n%i==0)        {            if(!mark[i]) ans=ans-ans/i;            while(n%i==0) n/=i;        }    }    if(n>1&&!mark[n]) ans-=ans/n;    return ans;}//超时....

筛法筛：

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;const int need=1000003;int n;int pr[need],tot;int f[need];bool zhi[need],mark[need];long long ans;void change(){    zhi[1]=true;    ans=f[1]=1;    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;    for(int i=2,j;i<=n;i++)    {        if(!zhi[i]) //f[i]==i不能判断质数了        {            pr[++tot]=i;            if(!mark[i])            {                for(j=i;j<=n;j+=i)                {                    f[j]-=f[j]/i;                    zhi[j]=true;                }            }            else for(j=i;j<=n;j+=i) zhi[j]=true;        }        ans+=f[i];    }}int main(){    scanf("%d",&n);    int a=n;     for(int i=2;i*i<=a;i++)    {        if(a%i==0)        {            mark[i]=true;            while(a%i==0) a/=i;        }    }    if(a>1) mark[a]=true;    change();    printf("%I64d",ans);}