组合数学之四 —— 鸽巢原理

嘿，大家统统围过来，给你们看一个很棒的东西，那是一种很酷很辣很炫很Top的东西：

基本知识

如果要把n+1个物品放进n个盒子中，那么至少有一个盒子包含两个或更多东西

这个就是鸽巢原理，本文完

原理很简单，我们提出两个推论：

• 如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好有一个物体
• 如果将n个物体放入n个盒子中并且没有一个盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里有一个物体

看一下例题吧（从题中参透精华）：

∞ 例一

给定m个整数a1,a2,a3,…,am，存在连续的一段区间，使得区间和能被m整除

首先，看到区间和就要条件反射般想到用前缀和处理
能被m整除这个条件，就可以转化成“区间和%m=0”
那么前缀和就用该有m+1个值：
0
a1
a1+a2
a1+a2+a3
…
a1+a2+…+am

我们把前缀和%m后，会有一个很显然但很玄妙的细节：
%m后的数值的范围一定在：0~m-1（一共m种值）
这就说明，这m+1种前缀和中，有m种不同的数值，那么一定有两个前缀和%m后的值相等
因此要求的区间一定是在这两个相等的前缀和之间的数列

∞ 例二

一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，ta决定每天至少下一盘棋
为了不使自己过于疲劳，ta还决定每周不能下超过12盘棋
证明存在连续若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋

设ai是在第一天所下的盘数，
因为每天至少下一盘棋，故数列序a[1],a[2],a[3],…,a[77]一定是一个严格递增序列
又因为任意一周最多下12盘棋，所以a[77]<=11*12=132，因此我们有：
1<=a[1] < a[2] < … < a[77]<=132
那么序列a[1]+21,a[2]+21,a[3]+21…一定也是一个严格递增的序列
22<=a[1]+21 < a[2]+21 < … < a[77]+21<=153
于是
a[1],a[2],a[3],…,a[n],a[1]+21,a[2]+21,…a[n]+21
这154个数中的每一个都是1到153之间的整数，由此可知，它们中一定有两个数是相等的
因为a[i]中没有相等的数，因此a[i]+21中也没有一个相同的数，
那么一定有一对数：a[j]=a[i]+21

∞ 例三

设m和n是互素的正整数，并设a和b为整数，其中0<=a<=m-1，0<=b<=n-1
于是存在正整数x，使得x%m=a，x%n=b

为证明这个决定，我们考虑n个整数：
a
m+a
2m+a
3m+a
…
(n-1)m+a

这些整数中，每一个%m余数都是a
设其中有两个数除以n有相同的余数r，令这两个数为：im+a，jm+a，其中0<=i < j<=n-1
于是，存在两个整数Qi和Qj，使得：
i*m+a=Qi*n+r
j*m+a=Qj*n+r
得：(j-i)m=(Qj-Qi)n
因为m，n互质，因此n一定是（j-i）的因子

然而0<=i < j<=n-1，那么j-i<=n-1，上式不成立

因此，我们可以断定：这n个数%n之后的余数各不相同
只要再多取一个数，那么%n的余数一定会和之前的n个数中之一一样

原问题得证

加强版的鸽巢原理

定理一

设Q1,Q2,…,Qn是正整数，如果将（Q1+Q2+…+Qn-n+1）个物体放入n个盒子内
那么或者第一个盒子至少含有Q1个物体，或者第二个盒子至少含有Q2个物体，…，或者第n个盒子至少含有Qn个物体

证明：
假设我们把（Q1+Q2+…+Qn-n+1）个物体放入n个盒子，而每个盒子中的物品都不超过Qi个
那么最多有：
（Q1-1）+（Q2-1）+（Q3-1）+…+（Qn-1）=（Q1+Q2+…+Qn）-n
个物品
但是原题目中的物品数目比上式的多一个，这个多出来的物品，无论放在哪一个盒子中，都有原题设

鸽巢原理的加强版的着色术语就是：

如果（Q1+Q2+…+Qn-n+1）个物体，用n种颜色之一着色，那么存在某个i，使得第i中颜色的物体（至少）有Qi个

显而易见不是吗？

推论一

设n和r都是正整数，如果把n(r-1)+1个物体中的每一个物体费拍到n个盒子中，那么至少有一个盒子含有r个或更多的物体

在本节的最后，我们提出一个很重要的讨论：

应用

有n^2+1个人排成一列，总能找到n+1个人向前迈一步，使得他们的身高是递增的（或递减的）
注意：我们这里说的递增指的是单调不减

我们假设不存在长度为n+1的递增子序列，证明必然存在长度为n+1的递减子序列
设每个人的身高就是ai
mi为以每一个元素开头的最长递增子序列
由题设得：
也就是说：n^2+1个m值都分布在[1,n]这个区间内

由鸽巢原理加强版，一定有n+1个元素的m值相等

设

若存在一个i（i∈[1,2,…,k]）使得
那么我们就可以把m[k[i+1]]接到a[k[i]]后面，形成一个新的递增序列
这样m[k[i]]>m[k[i+1]]，与原题设不符
因此我们得到：
那么我们可以同理得出：
因此数列： 即为长度为n+1的递减子序列

原问题得证