leetcode题解-4. Median of Two Sorted Arrays

本题难度为hard，确实不容易做出来。之前做的时候时间复杂度最差应该是O（m+n），不符合题目要求，因此这次再刷的时候又反复看资料，选择了一个O（log(m+n)）的方法。其实还有一个O（log(min(m,n))）的方法在官方的article中，但是不容易理解，并且不具有代表性，因此这里只介绍O（log(m+n)）的算法。

该问题的核心是将原问题分解成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有两种情况：>和<。如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件。如果我们以aStart 和bStart 来代表两个数组寻找第k小数的指针，那么：
如果aStart > A.length - 1，那么返回B[bStart + k - 1]
如果bStart > B.length - 1，那么返回A[aStart + k - 1]
如果k == 1, 代表已经找到了第K小的数了，那么就返回Math.min(A[aStart], B[bStart])
最终实现的代码为：

class Solution {    public static double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {        int m = A.length, n = B.length;        int l = (m + n + 1) / 2;        int r = (m + n + 2) / 2;        return (find_k(A, 0, B, 0, l) + find_k(A, 0, B, 0, r)) / 2.0;    }    public static double find_k(int[] A, int aStart, int[] B, int bStart, int k) {        if (aStart > A.length - 1) return B[bStart + k - 1];                    if (bStart > B.length - 1) return A[aStart + k - 1];                        if (k == 1) return Math.min(A[aStart], B[bStart]);        int aMid = Integer.MAX_VALUE, bMid = Integer.MAX_VALUE;        if (aStart + k/2 - 1 < A.length) aMid = A[aStart + k/2 - 1];         if (bStart + k/2 - 1 < B.length) bMid = B[bStart + k/2 - 1];                if (aMid < bMid)             return find_k(A, aStart + k/2, B, bStart,       k - k/2);// Check: aRight + bLeft         else             return find_k(A, aStart,       B, bStart + k/2, k - k/2);// Check: bRight + aLeft    }    public static void main(String[] args) {        int[] nums1 = {1,2,4,5,6};        int[] nums2 = {3,7,8,9,10,11};        System.out.println(findMedianSortedArrays(nums1, nums2));    }}