康托展开及其逆运算 详解

康托展开是什么？

定义：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

简单点说就是，判断这个数在其各个数字全排列中从小到大排第几位。

比如 132，在1、2、3的全排列中排第2位。

康托展开有啥用呢？

维基：n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出对应的全排列。

它可以应用于哈希表中空间压缩，

而且在搜索某些类型题时，将VIS数组量压缩。比如:八数码、魔板。。

康托展开求法：

比如2143 这个数，求其展开：

从头判断，至尾结束,

① 比 2（第一位数）小的数有多少个->1个就是1，1*3!

② 比 1（第二位数）小的数有多少个->0个0*2!

③ 比 4（第三位数）小的数有多少个->3个就是1,2,3，但是1,2之前已经出现，所以是  1*1!

将所有乘积相加=7

比该数小的数有7个，所以该数排第8的位置。

1234  1243  1324  1342  1423  1432
2134  2143  2314  2341  2413  2431
3124  3142  3214  3241  3412  3421
4123  4132  4213  4231  4312  4321

用程序来实现就是：

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1. int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i]  
2. // 康托展开-> 表示数字a是 a的全排列中从小到大排，排第几  
3. // n表示1~n个数  a数组表示数字。  
4. int kangtuo(int n,char a[])  
5. {  
6.     int i,j,t,sum;  
7.     sum=0;  
8.     for( i=0; i<n ;++i)  
9.     {  
10.         t=0;  
11.         for(j=i+1;j<n;++j)  
12.             if( a[i]>a[j] )  
13.                 ++t;  
14.         sum+=t*fac[n-i-1];  
15.     }  
16.     return sum+1;  
17. }  

康托展开的逆：

康托展开是一个全排列到自然数的双射，可以作为哈希函数。

所以当然也可以求逆运算了。

逆运算的方法：

假设求4位数中第19个位置的数字。

① 19减去1  → 18

② 18 对3！作除法 → 得3余0

③  0对2！作除法 → 得0余0

④  0对1！作除法 → 得0余0

据上面的可知：

我们第一位数（最左面的数），比第一位数小的数有3个，显然 第一位数为→ 4

比第二位数小的数字有0个，所以 第二位数为→1

比第三位数小的数字有0个，因为1已经用过，所以第三位数为→2

第四位数剩下 3

该数字为  4123  (正解)

用代码实现上述步骤为：

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1. int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};  
2. //康托展开的逆运算,{1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  
3. void reverse_kangtuo(int n,int k,char s[])  
4. {  
5.     int i, j, t, vst[8]={0};  
6.     --k;  
7.     for (i=0; i<n; i++)  
8.     {  
9.         t = k/fac[n-i-1];  
10.         for (j=1; j<=n; j++)  
11.             if (!vst[j])  
12.             {  
13.                 if (t == 0) break;  
14.                 --t;  
15.             }  
16.         s[i] = '0'+j;  
17.         vst[j] = 1;  
18.         k %= fac[n-i-1];  
19.     }  
20. }