【数论 && 公式推导】LightOJ

Problem Description

输入一个n，问你1-n有多少个数的正因数的和是偶数。
一个大于1的正整数n = p1^e1 * p2^e2 * … * pk^ek
n的正因数的和σ(n) = (p1^(e1+1) - 1) / (p1 - 1) * (p2^(e2+1) - 1) / (p2 - 1) * … * (pk^(ek + 1) - 1) / (pk - 1)。

思路：

我们要求1-n有多少个数的正因数的和是偶数，那我们可以转换成求n - 正因数的和是奇数的个数。
我们就得讨论正因数的和是奇数的个数怎么求
我们单独去除σ(n)中的一个式子来分析(p^(e+1) - 1) / (p - 1)想要σ(n)是奇数，那就得所有的(p^(e+1) - 1) / (p - 1)都是奇数

如果p = 2, p^(e+1)次方为偶数，其中e为任意正整数。所以(p^(e+1) - 1) / (p - 1)为奇数

如果p != 2, 当e为偶数的时候。 令x = (e+1),此时x为奇数。p^x - 1 = (p-1)*(p^(x-1) + p^(x-2) + … + 1)。所以(p^(e+1) - 1) / (p - 1) = (p^(x-1) + p^(x-2) + … + 1)，由于x为奇数，所以(p^(e+1) - 1) / (p - 1)为奇数。

我们就可以得到 当 n = 2^x * p^偶数， σ(n)是奇数。
当x是奇数的时候2 * 2^偶数 * p^偶数 = 2 * x^2。
当x是偶数的时候 2^偶数 * p^偶数 = x ^ 2
所以σ(平方数)是奇数，σ(2*平方数)是奇数

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){    int T, cas = 1;    scanf("%d", &T);    while(T--)    {        long long n;        scanf("%lld", &n);        long long sum = n;        sum -= (long long)sqrt(n);//1-n平方数的个数        sum -= (long long)sqrt(n / 2);//1-n 2*平方数的个数        printf("Case %d: %lld\n", cas++, sum);    }}