HDU 5226 Tom and matrix 组合数求和+Lucas定理.

HDU 5226
题意:1e5*1e5的矩阵.当i<j时,a[i][j]=0; 当i>j时,a[i][j]=C(i,j).
现在给出(x1,y1),(x2,y2) 求子矩阵的和   x1,y1,x2,y2<=1e5.

求子矩阵和 尝试用二维前缀和来解决.则要知道(0,0)到(x,y)的和.
容易知道(0,x)行的第i列秩和 0+..0+C(i,i)+C(i+1,i)+...C(x,i) = C(x+1,i+1)  (x+1件物品中取i+1件,最后一件为i+1,i+2,...x+1).
O(n)遍历列 前缀和减一减即可.

p是素数可大可小,在套一下Lucas定理:C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N=1e5+5;ll f[N],inv[N],x,y,x2,y2,p;ll powmod(ll x,ll n){    ll s=1;    while(n)    {        if(n&1)            s=(s*x)%p;        x=(x*x)%p;        n>>=1;    }    return s;}void init(){    f[0]=inv[0]=1;    for(int i=1;i<N;i++)    {        f[i]=(f[i-1]*i)%p;        inv[i]=powmod(f[i],p-2);    }}ll C(int n,int m){    if(n<m)        return 0;    return f[n]*inv[n-m]%p *inv[m] %p;}ll Lucas(int n,int m){    if(n<p&&m<p)        return C(n,m);    return Lucas(n/p,m/p)*Lucas(n%p,m%p)%p;}ll work(int x,int y){    ll res=0;    for(int i=0;i<=y;i++)        res=(res+Lucas(x+1,i+1))%p;    return res;}int main(){    while(cin>>x>>y>>x2>>y2>>p)    {        init();        ll ans=0;        ans=(ans+work(x2,y2));        if(y)            ans=(ans-work(x2,y-1)+p)%p;        if(x)            ans=(ans-work(x-1,y2)+p)%p;        if(x&&y)            ans=(ans+work(x-1,y-1)+p)%p;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}