【CF809E】Surprise me! 树形DP 虚树 数学

题目大意

　　给你一棵n个点的树，每个点有权值ai，a为一个排列，求

1n(n−1)∑i=1n∑j=1nϕ(aiaj)disti,j

　　n≤200000

题解

　　欧拉phi函数

ansf(d)F(d)F(d)f(d)=1n(n−1)∑i=1n∑j=1nϕ(aiaj)disti,j=1n(n−1)∑i=1n∑j=1n∑d=(ai,aj)ϕ(ai)ϕ(aj)dϕ(d)disti,j=1n(n−1)∑d=1ndμ(d)∑d=(ai,aj)ϕ(ai)ϕ(aj)disti,j=∑d=(ai,aj)ϕ(ai)ϕ(aj)disti,j=∑d|ai,d|ajϕ(ai)ϕ(aj)disti,j=∑d|nf(n)=F(d)−∑d|n,d≠nf(n)

　　F(d)可以直接建虚树DP求。

　　然后直接反演统计就可以得到答案。

　　总的点数是∑ni=1⌊ni⌋=O(nlogn)

　　所以总的时间复杂度是O(nlog2n)

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<utility>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair<int,int> pii;ll p=1000000007;struct graph{    int h[200010];    int v[400010];    int w[400010];    int t[400010];    int n;    graph()    {        memset(h,0,sizeof h);        n=0;    }    void add(int x,int y,int z)    {        n++;        v[n]=y;        w[n]=z;        t[n]=h[x];        h[x]=n;    }};graph g,g2;int f[200010][20];int d[200010];int st[200010];int ti;void dfs(int x,int fa,int dep){    f[x][0]=fa;    d[x]=dep;    st[x]=++ti;    int i;    for(i=1;i<=19;i++)        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];    for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])        if(g.v[i]!=fa)            dfs(g.v[i],x,dep+1);}int getlca(int x,int y){    if(d[x]<d[y])        swap(x,y);    int i;    for(i=19;i>=0;i--)        if(d[f[x][i]]>=d[y])            x=f[x][i];    if(x==y)        return x;    for(i=19;i>=0;i--)        if(f[x][i]!=f[y][i])        {            x=f[x][i];            y=f[y][i];        }    return f[x][0];}ll phi[200010];int b[200010];int pri[100010];int cnt;ll inv[200010];void init(int n){    int i,j;    inv[0]=inv[1]=1;    for(i=2;i<=n;i++)        inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;    phi[1]=1;    cnt=0;    for(i=2;i<=n;i++)    {        if(!b[i])        {            pri[++cnt]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++)        {            b[i*pri[j]]=1;            if(i%pri[j]==0)            {                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];                break;            }            phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];        }    }}ll a[200010];ll s[200010];int c[200010];int c1[200010];int ct;int n;int stack[200010];int top;int cmp(int a,int b){    return st[a]<st[b];}ll s1[200010];ll s2[200010];ll sum;void add(int x,int y)//f[x]=y{    ll s3=(s1[x]+(d[x]-d[y])*s2[x])%p;    sum=(sum+s3*s2[y]+s1[y]*s2[x])%p;    s1[y]=(s1[y]+s3)%p;    s2[y]=(s2[y]+s2[x])%p;}ll solve(int x){    sum=0;    ct=top=0;    int i;    for(i=x;i<=n;i+=x)        c1[++ct]=c[i];    sort(c1+1,c1+ct+1,cmp);    int rt=getlca(c1[1],c1[ct]);    if(rt!=c1[1])    {        stack[++top]=rt;        s1[rt]=s2[rt]=0;    }    for(i=1;i<=ct;i++)    {         if(i>=2)         {            int lca=getlca(c1[i],c1[i-1]);            while(d[stack[top]]>d[lca])                if(d[stack[top-1]]<d[lca])                {                    s1[lca]=s2[lca]=0;                    add(stack[top],lca);                    stack[top]=lca;                }                else                {                    add(stack[top],stack[top-1]);                    top--;                }         }         stack[++top]=c1[i];         s1[c1[i]]=0;         s2[c1[i]]=phi[a[c1[i]]];    }    while(top>1)    {        add(stack[top],stack[top-1]);        top--;    }    return sum*2%p;}int main(){    scanf("%d",&n);    init(n);    int i,x,y,j;    for(i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%lld",&a[i]);        c[a[i]]=i;    }    for(i=1;i<n;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        g.add(x,y,0);        g.add(y,x,0);    }    dfs(1,0,1);    for(i=1;i<=n;i++)        s[i]=solve(i);    ll ans=0;    for(i=n;i>=1;i--)    {        for(j=i+i;j<=n;j+=i)            s[i]-=s[j];        ans=(ans+s[i]*i%p*inv[phi[i]]%p)%p;    }    ans=ans*inv[n]%p*inv[n-1]%p;    ans=(ans+p)%p;    printf("%lld\n",ans);    return 0;}