【差分+阶梯Nim游戏】BZOJ1115(POI2009)[石子游戏Kam]题解

题目概述

有 n 堆石子数递增的石子，每次可以选一堆取走一些（不可以不取），但是要保证石子数依然递增，无法操作者输。问先手是否必胜。

解题报告

博弈论好难啊……虽然写起来好似神仙……刚开始以为是普通 Nim 游戏，但是一看到限制我就惊呆了……

首先我们差分，令 s[i]=a[i]−a[i−1] ，那么取走 i 堆石子 x 个的时候 s[i]−=x,s[i+1]+=x ，这怎么理解？我们可以理解为 s[i] 向 s[i+1] 移动了 x 个石子。

这是什么？我不知道啊！其实是一个叫阶梯 Nim 游戏的东西，它是这样的：

1. 有 n 个台阶，每个台阶上有若干个石子。
2. 每次可以将台阶 i 的若干个石子移动到台阶 i−1 ，若 i=1 则石子移动到地面。
3. 无法操作者输。

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阶梯 Nim 游戏判断先手状态根据的是奇数位置上的异或和，但这是为什么？还是要证明那几个性质：

1. 当无法操作时，则异或和显然为 0 。
2. 当状态是必胜态时，一定存在一个奇数位置使得移动该位置若干个石子到偶数位置上将异或和变为 0 。
3. 当状态是必败态时，一定不存在一个奇数位置使得移动该位置若干个石子到偶数位置上将异或和变为 0 ，且即使移动偶数位置的石子到奇数位置，对手必定可以将其移回奇数位置。

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这道题只需要注意一下搬运是向上搬的就行了。

示例程序

#include<cstdio>using namespace std;const int maxn=1000;int te,n,a[maxn+5],nim;int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    for (scanf("%d",&te);te;te--)    {        scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);nim=0;        for (int i=n;i>=1;i-=2) nim^=a[i]-a[i-1];printf("%s\n",nim?"TAK":"NIE");    }    return 0;}