【状压DP+矩阵乘法】51Nod1311[转换机]题解

题目概述

给你两个等长的字符串S与T，且S与T都只包含有”a”, “b”, “c”这三个字符。 你需要花一些钱来实现一些操作，让字符串S能最终变成字符串T，操作只有以下三种：

1）将字符串S中的一个‘a’字符变成‘b’，并消耗cost0的花费；

2）将字符串S中的一个‘b’字符变成‘c’，并消耗cost1的花费；

3）将字符串S中的一个‘c’字符变成‘a’，并消耗cost2的花费；

你一共有金钱Money，问在总花费不超过Money的前提下，你有多少种不同的操作序列方案使字符串S最终变成T，并输出方案数mod 1000000007后的结果。如果无解，输出0.

解题报告

首先我们可以确定最小价格 MIN 以及最少步数 s ，从而确定出最大步数：

t=s+(Money−MIN)/(cost0+cost1+cost2)

然后DP， f[i][j] 表示操作了 i 次，字符串状态为 j 的方案。发现虽然每次转移一致，但是字符串状态太多，依然无法使用矩阵乘法优化。

接着思考，发现没必要记录字符串状态，只需要记录每个位置“还需要几次完成”的状态，虽然完成的次数还是有 0 和 1 和 2 三个状态，但是三个状态互相独立，只需要 len2 而不是 3len 即可存下。

示例程序

#include<cstdio>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=12,maxm=maxn*maxn,MOD=1e9+7;int len,cst[3],MAX,s,t,sum[3],si,ID[maxn+5][maxn+5];LL MIN;char A[maxn+5],B[maxn+5];struct Matrix{    int r,c,s[maxm][maxm];    void zero(int R,int C)    {        r=R;c=C;        for (int i=0;i<r;i++)        for (int j=0;j<c;j++)            s[i][j]=0;    }    void unit(int C) {zero(C,C);for (int i=0;i<c;i++) s[i][i]=1;}};Matrix T,f,c;inline void AMOD(int &x,int tem) {if ((x+=tem)>=MOD) x-=MOD;}Matrix operator * (const Matrix &a,const Matrix &b){    c.zero(a.r,b.c);    for (int i=0;i<c.r;i++)    for (int j=0;j<c.c;j++)    for (int k=0;k<a.c;k++)        AMOD(c.s[i][j],(LL)a.s[i][k]*b.s[k][j]%MOD);    return c;}inline Matrix Pow(Matrix w,int b){    static Matrix s;s.unit(w.c);    while (b) {if (b&1) s=s*w;b>>=1;if (b) w=w*w;}    return s;}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    scanf("%s%s%d%d%d%d",A,B,&cst[0],&cst[1],&cst[2],&MAX);    for (len=0;A[len];len++)    {        int S=A[len]-'a',T=B[len]-'a',tot=0,ti=0;        for (int i=S;i!=T;i=(i+1)%3) tot+=cst[i],ti++;        MIN+=tot;sum[ti]++;s+=ti;    }    if (MAX<MIN) return printf("0\n"),0;    t=s+(MAX-MIN)/(cst[0]+cst[1]+cst[2])*3;    for (int i=0;i<=len;i++)    for (int j=0;j<=len-i;j++)        ID[i][j]=si++;T.zero(si+1,si+1);    for (int i=0;i<=len;i++)    for (int j=0;j<=len-i;j++)    {        if (i) T.s[ID[i][j]][ID[i-1][j]]=i;        if (j) T.s[ID[i][j]][ID[i+1][j-1]]=j;        if (len-i-j) T.s[ID[i][j]][ID[i][j+1]]=len-i-j;    }    T.s[ID[len][0]][si]=T.s[si][si]=1;    f.zero(1,si+1);f.s[0][ID[sum[0]][sum[1]]]=1;f=f*Pow(T,t);    return printf("%d\n",(f.s[0][ID[len][0]]+f.s[0][si])%MOD),0;}