【高维前缀和+容斥】Codeforces449D[Jzzhu and Numbers]题解

题目概述

有 n 个数 ai ，求选出若干个数（不可不选） and 起来为 0 的方案数。

解题报告

把每个数在二进制下的 01 序列看作集合，那么题目转化为选出一些集合交集为空的方案数。

然后……完全不会做啊……然后考虑容斥，令 f(i) 表示包含集合 i 的数的个数， S(i) 表示集合 i 的元素个数，考虑容斥，那么答案就是 ∑220−1i=0(−1)S(i)×(2f(i)−1) 。

问题是 f(i) 怎么求，有个高维前缀和的高端玩意可以使用。把每个二进制位看作一个维度，那么每个维度从上一个维度累加过来就可以快速计算前缀和了。

示例程序

#include<cstdio>#include<cctype>using namespace std;typedef long long LL;const int maxa=1048576,Log=20,MOD=1e9+7;int n,f[maxa],ans;#define Eoln(x) ((x)==10||(x)==13||(x)==EOF)inline char readc(){    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);    if (l==r) return EOF;return *l++;}inline int readi(int &x){    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';    while (!isdigit(ch)) {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}    if (lst=='-') f=-f;    while (isdigit(ch)) tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();    return x=tot*f,Eoln(ch);}inline void AMOD(int &x,int tem) {if ((x+=tem)>=MOD) x-=MOD;}inline int Pow(int w,int b){    int s=1;while (b) {if (b&1) s=(LL)s*w%MOD;b>>=1;if (b) w=(LL)w*w%MOD;}    return s;}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    readi(n);for (int i=1,x;i<=n;i++) readi(x),f[x]++;    for (int i=0;i<Log;i++)    for (int j=0;j<maxa;j++)        if (!(j&(1<<i))) AMOD(f[j],f[j|(1<<i)]);    for (int j=0;j<maxa;j++)    {        int tot=1;for (int i=0;i<Log;i++) if (j&(1<<i)) tot=-tot;        AMOD(ans,(tot*(Pow(2,f[j])-1)+MOD)%MOD);    }    return printf("%d\n",ans),0;}