小奇的矩阵 DP

小奇的矩阵

【题目背景】

小奇总是在数学课上思考奇怪的问题。

【问题描述】

给定一个n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij为正整数。

接下来规定

1.合法的路径初始从矩阵左上角出发，每次只能向右或向下走，终点为右下角。

2.路径经过的n+m-1个格子中的元素为A1,A2…A(n+m-1)，Aavg为Ai的平均数，路径的V值为(n+m-1)*∑(Ai-Aavg) ^2

(1<=i<=n+m-1)

求V值最小的合法路径，输出V值即可，有多组测试数据。

输入格式

第一行包含一个正整数T，表示数据组数。

对于每组数据：

第一行包含两个正整数n和m，表示矩阵的行数和列数。
接下来n行，每行m个正整数aij，描述这个矩阵。

输出格式

对于每次询问，输出一行一个整数表示要求的结果

样例输入

1
2 2
1 2
3 4

样例输出

14

数据规模

对于30%的数据 n<=10，m<=10

有另外40%的数据 n<=15 m<=15，矩阵中的元素不大于5

对于100%的数据 T<=5，n<=30，m<=30，矩阵中的元素不大于30

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看到方差的形式也不能打出GG。

首先容易看出来是一个DP，因为有明显的阶段性，而且很容易想到有两维应该用来记录位置。但是应该记录什么呢？是否应该加维数呢？

留给我们的突破口就只有答案的这个式子了，所以其实本题比较好想。对于题面里的形式显然是难以处理的，考虑对式子变形。

Ans=(n+m−1)∑(Ai−Avg)2
       =(n+m−1)∑(A2i−2AvgAi+Avg2)
       =(n+m−1)(A21+A22+…+A2n+m−1)−2Avg(n+m−1)(A1+A2+…An+m−1)+(n+m−1)2Avg2

不妨设Sum=A1+A2+A3+…+An+m−1，那么根据平均数的定义有Avg(n+m−1)=Sum，代入上式化简得

Ans=(n+m−1)(A21+A22+…+A2n+m−1)−2Sum2+Sum2
       =(n+m−1)(A21+A22+…+A2n+m−1)−Sum2

所以现在我们只需要求出对一个给定的Sum，求出对应最小的(A21+A22+…+A2n+m−1)即可。

所以定义状态f[i][j][k]表示当前走到(i,j)，当前得到的总和为k时的最小(A21+A22+…+A2i+j−1)。状态转移方程：

f[i][j][k]=min(f[i−1][j][k−Aij]+f[i][j−1][k−Aij])+A2ij

要得到最终答案，枚举(n+m−1)f[n][m][k]−k2的最小值即可。

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#include<stdio.h>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int N,M,Map[35][35],f[35][35][1805];long long Ans,Tmp;int main(){    int i,j,k,T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&N,&M);        for(i=1;i<=N;i++)        for(j=1;j<=M;j++)        scanf("%d",&Map[i][j]);        for(i=0;i<=N;i++)        for(j=0;j<=M;j++)        for(k=0;k<=1770;k++)f[i][j][k]=1e8;        f[1][1][Map[1][1]]=Map[1][1]*Map[1][1];        for(i=1;i<=N;i++)        for(j=1;j<=M;j++)        {            if(i==1&&j==1)continue;            for(k=Map[i][j];k<=1770;k++)            f[i][j][k]=min(f[i-1][j][k-Map[i][j]],f[i][j-1][k-Map[i][j]])+Map[i][j]*Map[i][j];        }        Ans=1e9;        for(k=0;k<=1770;k++)        {            Tmp=1ll*(N+M-1)*f[N][M][k]-k*k;            if(Ans>Tmp)Ans=Tmp;        }        printf("%lld\n",Ans);    }}