NOIP模拟（20171024）T3 数学

求满足方程ax≡xa(mod2n) 的解的个数
n≤30,a≤109
询问组数T≤1000
引理一：若a,b均为奇数，且a2k+1≡b2k+1(mod2n)，则a≡b(mod2n)
证明：
∵a2k+1≡b2k+1(mod2n)
∴a2k+1−b2k+1≡0(mod2n)
∴(a−b)(a2k+a2k−1b+a2k−2b2+⋯+b2k)≡0(mod2n)
由于a2k+a2k−1b+a2k−2b2+⋯+b2k 为奇数项奇数之和，为奇数
a2k+a2k−1b+a2k−2b2+⋯+b2k≡/0(mod2n)
∴a−b≡0(mod2n)
∴a≡b(mod2n)

引理二：若a为奇数，n为大于2的正整数，则a2n−2≡1(mod2n)
证明：
当n=3时，显然成立
当n=k时成立，即a2k−2≡1(mod2k)
则a2k−2≡1或2k+1(mod2k+1)
又∵12≡1(mod2k+1),(2k+1)2≡22k+2×2k+1≡1(mod2k+1)
∴a2k−1≡(a2k−2)2≡1(mod2k+1)
故当n=k+1时也成立

引理三：当a为奇数时，解在模意义下唯一，为a mod 2n
证明：
∵ ax≡xa(mod2n)
∴ ax≡xa(mod2n−1)ax≡xa(mod2n−2)⋯ax≡xa(mod2)
∴a,x均为奇数
∵当a为奇数时，a2≡1(mod4),a2≡1(mod8)
∴ax≡a(mod4),ax≡a(mod8)
xa≡x(mod4),xa≡x(mod8)
∴a≡x(mod4),a≡x(mod8)

下证当m=1,2,3…,k(3≤k<n) 时均有 a≡x(mod2m)
则当m=k+1时，a≡x(mod2m) 亦成立
由引理二得a2k−1≡1(mod2k+1)
设a≡x≡c(mod2k−1)
∴ac≡ax≡xa≡xc(mod2k+1)
由∵a,x 均为奇数
∴c 为奇数
由引理一得a≡x(mod2k+1)
故当m=k+1时，a≡x(mod2m) 成立

故x≡a(mod2n)

（考场上只会打表找规律的我对此证明表示，“呵呵”）

好那么当a为奇数时输出1即可
当a为偶数时易得ax≡0(mod230)(x≥30)
显然对于任意n≤30，均有ax≡0(mod2n)(x≥30)
那么对于小于30的x 我们暴力找即可
对于大于30的x,必有xa≡0(mod2n)
xa≡0(mod2n) 的充要条件为 x≡0(mod2⌈na⌉)
暴力统计即可
代码

#include<bits/stdc++.h>#define LENusing namespace std;inline long long getint(){    long long x=0,p=1;    char c=getchar();    while(!isdigit(c)){        if(c=='-')p=-1;        c=getchar();    }    while(isdigit(c)){        x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');        c=getchar();    }    return x*p;}inline void putint(long long x){    if(x<0){        x=-x;        putchar('-');    }    static long long buf[22];    long long tot=0;    do{        buf[tot++]=x%10;        x/=10;    }while(x);    while(tot)putchar(buf[--tot]+'0');}inline long long ksm(long long a,long long b,long long c){    long long ans=1;    while(b){        if(b&1)ans=ans*a%c;        b>>=1;        a=a*a%c;    }    return ans;}inline void work(long long a,long long n){    if(a%2==1){        putint(1),putchar('\n');        return;    }    long long mod=1<<n;    long long ans=0;    for(long long i=1;i<=30;++i){        if(ksm(a,i,mod)==ksm(i,a,mod))++ans;    }    long long need=(n-1)/a+1,n2=1<<need;    ans+=mod/n2-30/n2;    putint(ans),putchar('\n');}int main(){    long long t=getint();    while(t--){        long long a=getint(),n=getint();        work(a,n);    }    return 0;}