P1040 加分二叉树(区间DP)

P1040 加分二叉树 https://www.luogu.org/problemnew/show/1040

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

算法分析：

结合问题，如果整棵树的权值最大，必然有左子树的权值最大，右子树的权值也最大，符合最优性原理。

而却不是一道树规的题目。因为我们可以用区间动规的模型解决掉：直接定义一个f[i][j]表示从i到j的最大值，则

f[i][j]=max(f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])

枚举k即可。

接下来是如何建树的问题，只有把树建好了，才能输出其前序遍历。于是，我们看到了两个关键词：二叉树，中序遍历。有了这两个关键词，加上区间动规，这棵树就能建起来了。根据二叉树的特性来建树。所以这颗树的前序遍历，只需要边动规边记录下root[i][j]=k表示i到j的根为k即可确定树的构造。

前序遍历（DLR） 
　　前序遍历首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
　　若二叉树为空则结束返回，否则： 
　　（1）访问根结点 
　　（2）前序遍历左子树 
　　（3）前序遍历右子树 
　　注意的是：遍历左右子树时仍然采用前序遍历方法。 
　　如上图所示二叉树
　　前序遍历，也叫先根遍历，遍历的顺序是，根，左子树，右子树
　　遍历结果：ABCDEF 
　　中序遍历，也叫中根遍历，顺序是 左子树，根，右子树 
　　遍历结果：CBDAEF
　　后序遍历，也叫后根遍历，遍历顺序，左子树，右子树，根
　　遍历结果：CDBFEA

AC代码：

#include<iostream>#include<memory.h>using namespace std;int n;int f[35][35];int root[35][35];//root[a][b]表示a,b区间里父节点的编号。int get_Max(int left,int right){if(left>right){return 1;}if(f[left][right]==0){for(int i=left;i<=right;i++){int temp=f[left][right];f[left][right]=max((get_Max(left,i-1)*get_Max(i+1,right)+f[i][i]),f[left][right]);if(temp<f[left][right]){root[left][right]=i;//如果找到比当前更大的就更新，同时记录树根节点}}}return f[left][right];}void dfs(int left,int right){if((left>right)){return ;}else{cout<<root[left][right]<<' ';    dfs(left,root[left][right]-1);    dfs(root[left][right]+1,right);}}int main(){cin>>n;memset(f,0,sizeof(f));//数组初始化为0memset(root,0,sizeof(root));for(int i=1;i<=n;i++){int m;cin>>m;f[i][i]=m;root[i][i]=i;}cout<<get_Max(1,n)<<endl;dfs(1,n);return 0;}